Математический анализ Примеры

${(2 y + 1)}^{3} - 24 x = - 3$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} ({(2 y + 1)}^{3} - 24 x) = \frac{d}{d x} (- 3)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$\frac{d}{d x} [{(2 y)}^{3} + 3 {(2 y)}^{2} \cdot 1 + 3 (2 y) \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило суммы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим правило умножения к $2 y$ .

$\frac{d}{d x} [2^{3} y^{3} + 3 {(2 y)}^{2} \cdot 1 + 3 (2 y) \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

Этап 2.2.1.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 3 {(2 y)}^{2} \cdot 1 + 3 (2 y) \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

Этап 2.2.1.3

Применим правило умножения к $2 y$ .

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 3 (2^{2} y^{2}) \cdot 1 + 3 (2 y) \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

Этап 2.2.1.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 3 (4 y^{2}) \cdot 1 + 3 (2 y) \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

Этап 2.2.1.5

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 12 y^{2} \cdot 1 + 3 (2 y) \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

Этап 2.2.1.6

Умножим $12$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 12 y^{2} + 3 (2 y) \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

Этап 2.2.1.7

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 12 y^{2} + 6 y \cdot 1^{2} + 1^{3} - 24 x]$

Этап 2.2.1.8

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 12 y^{2} + 6 y \cdot 1 + 1^{3} - 24 x]$

Этап 2.2.1.9

Умножим $6$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 12 y^{2} + 6 y + 1^{3} - 24 x]$

Этап 2.2.1.10

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{d}{d x} [8 y^{3} + 12 y^{2} + 6 y + 1 - 24 x]$

Этап 2.2.2

По правилу суммы производная $8 y^{3} + 12 y^{2} + 6 y + 1 - 24 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8 y^{3}] + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

$\frac{d}{d x} [8 y^{3}] + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 y^{3}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $y$ .

$8 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Этап 2.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$8 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Этап 2.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y$ .

$8 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Этап 2.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$8 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Этап 2.3.4

Умножим $3$ на $8$ .

$24 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [12 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 y^{2}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$24 y^{2} y' + 12 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Этап 2.4.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $y$ .

$24 y^{2} y' + 12 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Этап 2.4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$24 y^{2} y' + 12 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Этап 2.4.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $y$ .

$24 y^{2} y' + 12 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Этап 2.4.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$24 y^{2} y' + 12 (2 y y') + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Этап 2.4.4

Умножим $2$ на $12$ .

$24 y^{2} y' + 24 y y' + \frac{d}{d x} [6 y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Этап 2.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 y$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [y]$ .

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Этап 2.5.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Этап 2.6

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' + 0 + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Этап 2.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Поскольку $- 24$ является константой относительно $x$ , производная $- 24 x$ по $x$ равна $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' + 0 - 24 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' + 0 - 24 \cdot 1$

Этап 2.7.3

Умножим $- 24$ на $1$ .

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' + 0 - 24$

Этап 2.8

Добавим $24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y'$ и $0$ .

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' - 24$

Этап 3

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' - 24 = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $24$ к обеим частям уравнения.

$24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y' = 24$

Этап 5.2

Вынесем множитель $6 y'$ из $24 y^{2} y' + 24 y y' + 6 y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $6 y'$ из $24 y^{2} y'$ .

$6 y' (4 y^{2}) + 24 y y' + 6 y' = 24$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $6 y'$ из $24 y y'$ .

$6 y' (4 y^{2}) + 6 y' (4 y) + 6 y' = 24$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $6 y'$ из $6 y'$ .

$6 y' (4 y^{2}) + 6 y' (4 y) + 6 y' \cdot 1 = 24$

Этап 5.2.4

Вынесем множитель $6 y'$ из $6 y' (4 y^{2}) + 6 y' (4 y)$ .

$6 y' (4 y^{2} + 4 y) + 6 y' \cdot 1 = 24$

Этап 5.2.5

Вынесем множитель $6 y'$ из $6 y' (4 y^{2} + 4 y) + 6 y' \cdot 1$ .

$6 y' (4 y^{2} + 4 y + 1) = 24$

Этап 5.3

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перепишем $4 y^{2}$ в виде ${(2 y)}^{2}$ .

$6 y' ({(2 y)}^{2} + 4 y + 1) = 24$

Этап 5.3.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$6 y' ({(2 y)}^{2} + 4 y + 1^{2}) = 24$

Этап 5.3.3

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 y = 2 \cdot (2 y) \cdot 1$

Этап 5.3.4

Перепишем многочлен.

$6 y' ({(2 y)}^{2} + 2 \cdot (2 y) \cdot 1 + 1^{2}) = 24$

Этап 5.3.5

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = 2 y$ и $b = 1$ .

$6 y' {(2 y + 1)}^{2} = 24$

Этап 5.4

Разделим каждый член $6 y' {(2 y + 1)}^{2} = 24$ на $6 {(2 y + 1)}^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $6 y' {(2 y + 1)}^{2} = 24$ на $6 {(2 y + 1)}^{2}$ .

$\frac{6 y' {(2 y + 1)}^{2}}{6 {(2 y + 1)}^{2}} = \frac{24}{6 {(2 y + 1)}^{2}}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 y' {(2 y + 1)}^{2}}{6 {(2 y + 1)}^{2}} = \frac{24}{6 {(2 y + 1)}^{2}}$

Этап 5.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' {(2 y + 1)}^{2}}{{(2 y + 1)}^{2}} = \frac{24}{6 {(2 y + 1)}^{2}}$

Этап 5.4.2.2

Сократим общий множитель ${(2 y + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' {(2 y + 1)}^{2}}{{(2 y + 1)}^{2}} = \frac{24}{6 {(2 y + 1)}^{2}}$

Этап 5.4.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{24}{6 {(2 y + 1)}^{2}}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Сократим общий множитель $24$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1

Вынесем множитель $6$ из $24$ .

$y' = \frac{6 \cdot 4}{6 {(2 y + 1)}^{2}}$

Этап 5.4.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.2.1

Вынесем множитель $6$ из $6 {(2 y + 1)}^{2}$ .

$y' = \frac{6 \cdot 4}{6 ({(2 y + 1)}^{2})}$

Этап 5.4.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{6 \cdot 4}{6 {(2 y + 1)}^{2}}$

Этап 5.4.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{4}{{(2 y + 1)}^{2}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{{(2 y + 1)}^{2}}$