Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 2} \frac{1}{x - 2} - \frac{6}{x^{2} + 2 x - 8}$

Этап 1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $\frac{1}{x - 2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{2} + 2 x - 8}{x^{2} + 2 x - 8}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 8}{x^{2} + 2 x - 8} - \frac{6}{x^{2} + 2 x - 8}$

Этап 1.2

Чтобы записать $- \frac{6}{x^{2} + 2 x - 8}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 8}{x^{2} + 2 x - 8} - \frac{6}{x^{2} + 2 x - 8} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}$

Этап 1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $\frac{1}{x - 2}$ на $\frac{x^{2} + 2 x - 8}{x^{2} + 2 x - 8}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} + 2 x - 8}{(x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)} - \frac{6}{x^{2} + 2 x - 8} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}$

Этап 1.3.2

Умножим $\frac{6}{x^{2} + 2 x - 8}$ на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} + 2 x - 8}{(x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)} - \frac{6 (x - 2)}{(x^{2} + 2 x - 8) (x - 2)}$

Этап 1.3.3

Изменим порядок множителей в $(x^{2} + 2 x - 8) (x - 2)$ .

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} + 2 x - 8}{(x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)} - \frac{6 (x - 2)}{(x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)}$

Этап 1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} + 2 x - 8 - 6 (x - 2)}{(x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} + 2 x - 8 - 6 (x - 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 8 - lim_{x \to 2} 6 (x - 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)}$

Этап 2.1.2.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 8 - lim_{x \to 2} 6 (x - 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)}$

Этап 2.1.2.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 8 - lim_{x \to 2} 6 (x - 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)}$

Этап 2.1.2.4

Найдем предел $8$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 8 - lim_{x \to 2} 6 (x - 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)}$

Этап 2.1.2.5

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 8 - 6 lim_{x \to 2} x - 2}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)}$

Этап 2.1.2.6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 8 - 6 (lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)}$

Этап 2.1.2.7

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 8 - 6 (lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)}$

Этап 2.1.2.8

Найдем значения пределов, подставив значение $2$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{2^{2} + 2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 8 - 6 (lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)}$

Этап 2.1.2.8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{2^{2} + 2 \cdot 2 - 1 \cdot 8 - 6 (lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)}$

Этап 2.1.2.8.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{2^{2} + 2 \cdot 2 - 1 \cdot 8 - 6 (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)}$

Этап 2.1.2.9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.9.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{4 + 2 \cdot 2 - 1 \cdot 8 - 6 (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)}$

Этап 2.1.2.9.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 + 4 - 1 \cdot 8 - 6 (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)}$

Этап 2.1.2.9.1.3

Умножим $- 1$ на $8$ .

$\frac{4 + 4 - 8 - 6 (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)}$

Этап 2.1.2.9.1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{4 + 4 - 8 - 6 (2 - 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)}$

Этап 2.1.2.9.1.5

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{4 + 4 - 8 - 6 \cdot 0}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)}$

Этап 2.1.2.9.1.6

Умножим $- 6$ на $0$ .

$\frac{4 + 4 - 8 + 0}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)}$

Этап 2.1.2.9.2

Добавим $4$ и $4$ .

$\frac{8 - 8 + 0}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)}$

Этап 2.1.2.9.3

Вычтем $8$ из $8$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)}$

Этап 2.1.2.9.4

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)}$

Этап 2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 2 \cdot lim_{x \to 2} x^{2} + 2 x - 8}$

Этап 2.1.3.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2) \cdot lim_{x \to 2} x^{2} + 2 x - 8}$

Этап 2.1.3.3

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2) \cdot lim_{x \to 2} x^{2} + 2 x - 8}$

Этап 2.1.3.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2) \cdot (lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 8)}$

Этап 2.1.3.5

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{(lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2) \cdot ({(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 8)}$

Этап 2.1.3.6

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2) \cdot ({(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 8)}$

Этап 2.1.3.7

Найдем предел $8$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2) \cdot ({(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 8)}$

Этап 2.1.3.8

Найдем значения пределов, подставив значение $2$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{0}{(2 - 1 \cdot 2) \cdot ({(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 8)}$

Этап 2.1.3.8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{0}{(2 - 1 \cdot 2) \cdot (2^{2} + 2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 8)}$

Этап 2.1.3.8.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{0}{(2 - 1 \cdot 2) \cdot (2^{2} + 2 \cdot 2 - 1 \cdot 8)}$

Этап 2.1.3.9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{0}{(2 - 2) \cdot (2^{2} + 2 \cdot 2 - 1 \cdot 8)}$

Этап 2.1.3.9.2

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{0}{0 \cdot (2^{2} + 2 \cdot 2 - 1 \cdot 8)}$

Этап 2.1.3.9.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.9.3.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{0}{0 \cdot (4 + 2 \cdot 2 - 1 \cdot 8)}$

Этап 2.1.3.9.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{0}{0 \cdot (4 + 4 - 1 \cdot 8)}$

Этап 2.1.3.9.3.3

Умножим $- 1$ на $8$ .

$\frac{0}{0 \cdot (4 + 4 - 8)}$

Этап 2.1.3.9.4

Добавим $4$ и $4$ .

$\frac{0}{0 \cdot (8 - 8)}$

Этап 2.1.3.9.5

Вычтем $8$ из $8$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Этап 2.1.3.9.6

Умножим $0$ на $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.9.7

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.10

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} + 2 x - 8 - 6 (x - 2)}{(x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 8 - 6 (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 8 - 6 (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)]}$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 2 x - 8 - 6 (x - 2)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [- 6 (x - 2)]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [- 6 (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)]}$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [- 6 (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)]}$

Этап 2.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [- 6 (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)]}$

Этап 2.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [- 6 (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)]}$

Этап 2.3.4.3

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [- 6 (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)]}$

Этап 2.3.5

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2 + 0 + \frac{d}{d x} [- 6 (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)]}$

Этап 2.3.6

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 (x - 2)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 (x - 2)$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x - 2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2 + 0 - 6 \frac{d}{d x} [x - 2]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)]}$

Этап 2.3.6.2

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2 + 0 - 6 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)]}$

Этап 2.3.6.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2 + 0 - 6 (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)]}$

Этап 2.3.6.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2 + 0 - 6 (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)]}$

Этап 2.3.6.5

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2 + 0 - 6 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)]}$

Этап 2.3.6.6

Умножим $- 6$ на $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2 + 0 - 6}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)]}$

Этап 2.3.7

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Добавим $2 x + 2$ и $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 2 - 6}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)]}$

Этап 2.3.7.2

Вычтем $6$ из $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} + 2 x - 8)]}$

Этап 2.3.8

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x - 2$ и $g (x) = x^{2} + 2 x - 8$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 8] + (x^{2} + 2 x - 8) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 2.3.9

По правилу суммы производная $x^{2} + 2 x - 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{(x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]) + (x^{2} + 2 x - 8) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 2.3.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{(x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]) + (x^{2} + 2 x - 8) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 2.3.11

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{(x - 2) (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) + (x^{2} + 2 x - 8) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 2.3.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{(x - 2) (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]) + (x^{2} + 2 x - 8) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 2.3.13

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{(x - 2) (2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 8]) + (x^{2} + 2 x - 8) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 2.3.14

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{(x - 2) (2 x + 2 + 0) + (x^{2} + 2 x - 8) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 2.3.15

Добавим $2 x + 2$ и $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{(x - 2) (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x - 8) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 2.3.16

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{(x - 2) (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x - 8) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}$

Этап 2.3.17

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{(x - 2) (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x - 8) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}$

Этап 2.3.18

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{(x - 2) (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x - 8) (1 + 0)}$

Этап 2.3.19

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{(x - 2) (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x - 8) \cdot 1}$

Этап 2.3.20

Умножим $x^{2} + 2 x - 8$ на $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{(x - 2) (2 x + 2) + x^{2} + 2 x - 8}$

Этап 2.3.21

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.21.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{(x - 2) (2 x) + (x - 2) \cdot 2 + x^{2} + 2 x - 8}$

Этап 2.3.21.2

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{x (2 x) - 2 (2 x) + (x - 2) \cdot 2 + x^{2} + 2 x - 8}$

Этап 2.3.21.3

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{x (2 x) - 2 (2 x) + x \cdot 2 - 2 \cdot 2 + x^{2} + 2 x - 8}$

Этап 2.3.21.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.21.4.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 (x^{1} x) - 2 (2 x) + x \cdot 2 - 2 \cdot 2 + x^{2} + 2 x - 8}$

Этап 2.3.21.4.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 (x^{1} x^{1}) - 2 (2 x) + x \cdot 2 - 2 \cdot 2 + x^{2} + 2 x - 8}$

Этап 2.3.21.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 x^{1 + 1} - 2 (2 x) + x \cdot 2 - 2 \cdot 2 + x^{2} + 2 x - 8}$

Этап 2.3.21.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 x^{2} - 2 (2 x) + x \cdot 2 - 2 \cdot 2 + x^{2} + 2 x - 8}$

Этап 2.3.21.4.5

Умножим $2$ на $- 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 x^{2} - 4 x + x \cdot 2 - 2 \cdot 2 + x^{2} + 2 x - 8}$

Этап 2.3.21.4.6

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 x^{2} - 4 x + 2 \cdot x - 2 \cdot 2 + x^{2} + 2 x - 8}$

Этап 2.3.21.4.7

Умножим $- 2$ на $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 x^{2} - 4 x + 2 x - 4 + x^{2} + 2 x - 8}$

Этап 2.3.21.4.8

Добавим $- 4 x$ и $2 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 x^{2} - 2 x - 4 + x^{2} + 2 x - 8}$

Этап 2.3.21.4.9

Добавим $2 x^{2}$ и $x^{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{3 x^{2} - 2 x - 4 + 2 x - 8}$

Этап 2.3.21.4.10

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{3 x^{2} + 0 - 4 - 8}$

Этап 2.3.21.4.11

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{3 x^{2} - 4 - 8}$

Этап 2.3.21.4.12

Вычтем $8$ из $- 4$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{3 x^{2} - 12}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 2} 2 x - 4}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 12}$

Этап 3.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 12}$

Этап 3.1.2.1.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 12}$

Этап 3.1.2.1.3

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 12}$

Этап 3.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot 2 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 12}$

Этап 3.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 12}$

Этап 3.1.2.3.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 12}$

Этап 3.1.2.3.2

Вычтем $4$ из $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 12}$

Этап 3.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - lim_{x \to 2} 12}$

Этап 3.1.3.1.2

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 12}$

Этап 3.1.3.1.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 12}$

Этап 3.1.3.1.4

Найдем предел $12$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 12}$

Этап 3.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{0}{3 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 12}$

Этап 3.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.3.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{0}{3 \cdot 4 - 1 \cdot 12}$

Этап 3.1.3.3.1.2

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{0}{12 - 1 \cdot 12}$

Этап 3.1.3.3.1.3

Умножим $- 1$ на $12$ .

$\frac{0}{12 - 12}$

Этап 3.1.3.3.2

Вычтем $12$ из $12$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 3.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 3.2

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{3 x^{2} - 12} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [2 x - 4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 12]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [2 x - 4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 12]}$

Этап 3.3.2

По правилу суммы производная $2 x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 12]}$

Этап 3.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 12]}$

Этап 3.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 12]}$

Этап 3.3.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 12]}$

Этап 3.3.4

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 + 0}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 12]}$

Этап 3.3.5

Добавим $2$ и $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 12]}$

Этап 3.3.6

По правилу суммы производная $3 x^{2} - 12$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]}$

Этап 3.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.7.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2}{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]}$

Этап 3.3.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2}{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12]}$

Этап 3.3.7.3

Умножим $2$ на $3$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2}{6 x + \frac{d}{d x} [- 12]}$

Этап 3.3.8

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2}{6 x + 0}$

Этап 3.3.9

Добавим $6 x$ и $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2}{6 x}$

Этап 3.4

Сократим общий множитель $2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (1)}{6 x}$

Этап 3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (1)}{2 (3 x)}$

Этап 3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 2} \frac{2 \cdot 1}{2 (3 x)}$

Этап 3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 2} \frac{1}{3 x}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем член $\frac{1}{3}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 2} \frac{1}{x}$

Этап 4.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} x}$

Этап 4.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 2} x}$

Этап 5

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 6

Умножим $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 2}$

Этап 6.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{1}{6}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{6}$

Десятичная форма:

$0.1\overline{6}$