Математический анализ Примеры

$\int \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x^{2}} d x$

Этап 1

Пусть $x = \sin (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = \cos (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $\cos (t)$ положительно.

$\int \frac{\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}}{\sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим формулу Пифагора.

$\int \frac{\sqrt{\cos^{2} (t)}}{\sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Этап 2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int \frac{\cos (t)}{\sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Объединим $\frac{\cos (t)}{\sin^{2} (t)}$ и $\cos (t)$ .

$\int \frac{\cos (t) \cos (t)}{\sin^{2} (t)} d t$

Этап 2.2.2

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$\int \frac{\cos^{1} (t) \cos (t)}{\sin^{2} (t)} d t$

Этап 2.2.3

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$\int \frac{\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)}{\sin^{2} (t)} d t$

Этап 2.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \frac{{\cos (t)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (t)} d t$

Этап 2.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\int \frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t)} d t$

Этап 2.2.6

Переведем $\frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t)}$ в $\cot^{2} (t)$ .

$\int \cot^{2} (t) d t$

Этап 3

Используя формулы Пифагора, запишем $\cot^{2} (t)$ в виде $- 1 + \csc^{2} (t)$ .

$\int - 1 + \csc^{2} (t) d t$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - 1 d t + \int \csc^{2} (t) d t$

Этап 5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- t + C + \int \csc^{2} (t) d t$

Этап 6

Поскольку производная $- \cot (t)$ равна $\csc^{2} (t)$ , интеграл $\csc^{2} (t)$ равен $- \cot (t)$ .

$- t + C - \cot (t) + C$

Этап 7

Упростим.

$- t - \cot (t) + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $t$ на $\arcsin (x)$ .

$- \arcsin (x) - \cot (\arcsin (x)) + C$