Математический анализ Примеры

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{- 2 + h} + \frac{1}{2}}{h}$

Этап 1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $\frac{1}{- 2 + h}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{- 2 + h} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}{h}$

Этап 1.2

Чтобы записать $\frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{- 2 + h}{- 2 + h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{- 2 + h} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{- 2 + h}{- 2 + h}}{h}$

Этап 1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(- 2 + h) \cdot 2$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $\frac{1}{- 2 + h}$ на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{(- 2 + h) \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{- 2 + h}{- 2 + h}}{h}$

Этап 1.3.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{- 2 + h}{- 2 + h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{(- 2 + h) \cdot 2} + \frac{- 2 + h}{2 (- 2 + h)}}{h}$

Этап 1.3.3

Изменим порядок множителей в $(- 2 + h) \cdot 2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{2 (- 2 + h)} + \frac{- 2 + h}{2 (- 2 + h)}}{h}$

Этап 1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 - 2 + h}{2 (- 2 + h)}}{h}$

Этап 1.5

Вычтем $2$ из $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{0 + h}{2 (- 2 + h)}}{h}$

Этап 1.6

Добавим $0$ и $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{h}{2 (- 2 + h)}}{h}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим выражение под знаком предела.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{h \to 0} \frac{h}{2 (- 2 + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 2.1.2

Умножим $\frac{h}{2 (- 2 + h)}$ на $\frac{1}{h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{h}{2 (- 2 + h) h}$

Этап 2.1.3

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$lim_{h \to 0} \frac{h}{2 (- 2 + h) h}$

Этап 2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$lim_{h \to 0} \frac{1}{2 (- 2 + h)}$

Этап 2.2

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$\frac{1}{2} lim_{h \to 0} \frac{1}{- 2 + h}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} - 2 + h}$

Этап 2.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} - 2 + h}$

Этап 2.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{- lim_{h \to 0} 2 + lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.6

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{- 1 \cdot 2 + lim_{h \to 0} h}$

Этап 3

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{- 1 \cdot 2 + 0}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{- 2 + 0}$

Этап 4.1.2

Добавим $- 2$ и $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{- 2}$

Этап 4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Этап 4.3

Умножим $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 2}$

Этап 4.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{1}{4}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1}{4}$

Десятичная форма:

$- 0.25$