Математический анализ Примеры

$\int \frac{x^{2} + 18}{x^{3} - 9 x} d x$

Этап 1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разложим дробь на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} - 9 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\frac{x^{2} + 18}{x \cdot x^{2} - 9 x}$

Этап 1.1.1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 9 x$ .

$\frac{x^{2} + 18}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 9}$

Этап 1.1.1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x \cdot - 9$ .

$\frac{x^{2} + 18}{x (x^{2} - 9)}$

Этап 1.1.1.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 18}{x (x^{2} - 3^{2})}$

Этап 1.1.1.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$\frac{x^{2} + 18}{x ((x + 3) (x - 3))}$

Этап 1.1.1.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{x^{2} + 18}{x (x + 3) (x - 3)}$

Этап 1.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 3}$

Этап 1.1.3

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 3} + \frac{C}{x - 3}$

Этап 1.1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $x (x + 3) (x - 3)$ .

$\frac{(x^{2} + 18) (x (x + 3) (x - 3))}{x (x + 3) (x - 3)} = \frac{A (x (x + 3) (x - 3))}{x} + \frac{(B) (x (x + 3) (x - 3))}{x + 3} + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Этап 1.1.5

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x^{2} + 18) (x (x + 3) (x - 3))}{x (x + 3) (x - 3)} = \frac{A (x (x + 3) (x - 3))}{x} + \frac{(B) (x (x + 3) (x - 3))}{x + 3} + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Этап 1.1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(x^{2} + 18) ((x + 3) (x - 3))}{(x + 3) (x - 3)} = \frac{A (x (x + 3) (x - 3))}{x} + \frac{(B) (x (x + 3) (x - 3))}{x + 3} + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Этап 1.1.6

Сократим общий множитель $x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x^{2} + 18) ((x + 3) (x - 3))}{(x + 3) (x - 3)} = \frac{A (x (x + 3) (x - 3))}{x} + \frac{(B) (x (x + 3) (x - 3))}{x + 3} + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Этап 1.1.6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(x^{2} + 18) (x - 3)}{x - 3} = \frac{A (x (x + 3) (x - 3))}{x} + \frac{(B) (x (x + 3) (x - 3))}{x + 3} + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Этап 1.1.7

Сократим общий множитель $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x^{2} + 18) (x - 3)}{x - 3} = \frac{A (x (x + 3) (x - 3))}{x} + \frac{(B) (x (x + 3) (x - 3))}{x + 3} + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Этап 1.1.7.2

Разделим $x^{2} + 18$ на $1$ .

$x^{2} + 18 = \frac{A (x (x + 3) (x - 3))}{x} + \frac{(B) (x (x + 3) (x - 3))}{x + 3} + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Этап 1.1.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} + 18 = \frac{A (x (x + 3) (x - 3))}{x} + \frac{(B) (x (x + 3) (x - 3))}{x + 3} + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Этап 1.1.8.1.2

Разделим $A ((x + 3) (x - 3))$ на $1$ .

$x^{2} + 18 = A ((x + 3) (x - 3)) + \frac{(B) (x (x + 3) (x - 3))}{x + 3} + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Этап 1.1.8.2

Развернем $(x + 3) (x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 18 = A (x (x - 3) + 3 (x - 3)) + \frac{(B) (x (x + 3) (x - 3))}{x + 3} + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Этап 1.1.8.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 18 = A (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3)) + \frac{(B) (x (x + 3) (x - 3))}{x + 3} + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Этап 1.1.8.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 18 = A (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3) + \frac{(B) (x (x + 3) (x - 3))}{x + 3} + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Этап 1.1.8.3

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.3.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot - 3$ и $3 x$ .

$x^{2} + 18 = A (x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3) + \frac{(B) (x (x + 3) (x - 3))}{x + 3} + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Этап 1.1.8.3.2

Добавим $- 3 x$ и $3 x$ .

$x^{2} + 18 = A (x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3) + \frac{(B) (x (x + 3) (x - 3))}{x + 3} + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Этап 1.1.8.3.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$x^{2} + 18 = A (x \cdot x + 3 \cdot - 3) + \frac{(B) (x (x + 3) (x - 3))}{x + 3} + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Этап 1.1.8.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.4.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + 18 = A (x^{2} + 3 \cdot - 3) + \frac{(B) (x (x + 3) (x - 3))}{x + 3} + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Этап 1.1.8.4.2

Умножим $3$ на $- 3$ .

$x^{2} + 18 = A (x^{2} - 9) + \frac{(B) (x (x + 3) (x - 3))}{x + 3} + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Этап 1.1.8.5

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 18 = A x^{2} + A \cdot - 9 + \frac{(B) (x (x + 3) (x - 3))}{x + 3} + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Этап 1.1.8.6

Перенесем $- 9$ влево от $A$ .

$x^{2} + 18 = A x^{2} - 9 \cdot A + \frac{(B) (x (x + 3) (x - 3))}{x + 3} + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Этап 1.1.8.7

Сократим общий множитель $x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.7.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} + 18 = A x^{2} - 9 A + \frac{B (x (x + 3) (x - 3))}{x + 3} + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Этап 1.1.8.7.2

Разделим $(B) (x (x - 3))$ на $1$ .

$x^{2} + 18 = A x^{2} - 9 A + (B) (x (x - 3)) + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Этап 1.1.8.8

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 18 = A x^{2} - 9 A + B (x \cdot x + x \cdot - 3) + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Этап 1.1.8.9

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + 18 = A x^{2} - 9 A + B (x^{2} + x \cdot - 3) + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Этап 1.1.8.10

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$x^{2} + 18 = A x^{2} - 9 A + B (x^{2} - 3 \cdot x) + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Этап 1.1.8.11

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 18 = A x^{2} - 9 A + B x^{2} + B (- 3 x) + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Этап 1.1.8.12

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} + 18 = A x^{2} - 9 A + B x^{2} - 3 B x + \frac{(C) (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Этап 1.1.8.13

Сократим общий множитель $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.13.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} + 18 = A x^{2} - 9 A + B x^{2} - 3 B x + \frac{C (x (x + 3) (x - 3))}{x - 3}$

Этап 1.1.8.13.2

Разделим $(C) (x (x + 3))$ на $1$ .

$x^{2} + 18 = A x^{2} - 9 A + B x^{2} - 3 B x + (C) (x (x + 3))$

Этап 1.1.8.14

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 18 = A x^{2} - 9 A + B x^{2} - 3 B x + C (x \cdot x + x \cdot 3)$

Этап 1.1.8.15

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + 18 = A x^{2} - 9 A + B x^{2} - 3 B x + C (x^{2} + x \cdot 3)$

Этап 1.1.8.16

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$x^{2} + 18 = A x^{2} - 9 A + B x^{2} - 3 B x + C (x^{2} + 3 \cdot x)$

Этап 1.1.8.17

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 18 = A x^{2} - 9 A + B x^{2} - 3 B x + C x^{2} + C (3 x)$

Этап 1.1.8.18

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} + 18 = A x^{2} - 9 A + B x^{2} - 3 B x + C x^{2} + 3 C x$

Этап 1.1.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.9.1

Перенесем $B$ .

$x^{2} + 18 = A x^{2} - 9 A + B x^{2} - 3 x B + C x^{2} + 3 C x$

Этап 1.1.9.2

Перенесем $- 9 A$ .

$x^{2} + 18 = A x^{2} + B x^{2} - 3 x B + C x^{2} + 3 C x - 9 A$

Этап 1.1.9.3

Перенесем $- 3 x B$ .

$x^{2} + 18 = A x^{2} + B x^{2} + C x^{2} - 3 x B + 3 C x - 9 A$

Этап 1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = A + B + C$

Этап 1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = - 3 B + 3 C$

Этап 1.2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$18 = - 9 A$

Этап 1.2.4

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$1 = A + B + C$

$0 = - 3 B + 3 C$

$18 = - 9 A$

$1 = A + B + C$

$0 = - 3 B + 3 C$

$18 = - 9 A$

Этап 1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Решим относительно $A$ в $18 = - 9 A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $- 9 A = 18$ .

$- 9 A = 18$

$1 = A + B + C$

$0 = - 3 B + 3 C$

Этап 1.3.1.2

Разделим каждый член $- 9 A = 18$ на $- 9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.1

Разделим каждый член $- 9 A = 18$ на $- 9$ .

$\frac{- 9 A}{- 9} = \frac{18}{- 9}$

$1 = A + B + C$

$0 = - 3 B + 3 C$

Этап 1.3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.2.1

Сократим общий множитель $- 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 9 A}{- 9} = \frac{18}{- 9}$

$1 = A + B + C$

$0 = - 3 B + 3 C$

Этап 1.3.1.2.2.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{18}{- 9}$

$1 = A + B + C$

$0 = - 3 B + 3 C$

$A = \frac{18}{- 9}$

$1 = A + B + C$

$0 = - 3 B + 3 C$

$A = \frac{18}{- 9}$

$1 = A + B + C$

$0 = - 3 B + 3 C$

Этап 1.3.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.3.1

Разделим $18$ на $- 9$ .

$A = - 2$

$1 = A + B + C$

$0 = - 3 B + 3 C$

$A = - 2$

$1 = A + B + C$

$0 = - 3 B + 3 C$

$A = - 2$

$1 = A + B + C$

$0 = - 3 B + 3 C$

$A = - 2$

$1 = A + B + C$

$0 = - 3 B + 3 C$

Этап 1.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $- 2$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $1 = A + B + C$ на $- 2$ .

$1 = (- 2) + B + C$

$A = - 2$

$0 = - 3 B + 3 C$

Этап 1.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Избавимся от скобок.

$1 = - 2 + B + C$

$A = - 2$

$0 = - 3 B + 3 C$

$1 = - 2 + B + C$

$A = - 2$

$0 = - 3 B + 3 C$

$1 = - 2 + B + C$

$A = - 2$

$0 = - 3 B + 3 C$

Этап 1.3.3

Решим относительно $B$ в $1 = - 2 + B + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- 2 + B + C = 1$ .

$- 2 + B + C = 1$

$A = - 2$

$0 = - 3 B + 3 C$

Этап 1.3.3.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$B + C = 1 + 2$

$A = - 2$

$0 = - 3 B + 3 C$

Этап 1.3.3.2.2

Вычтем $C$ из обеих частей уравнения.

$B = 1 + 2 - C$

$A = - 2$

$0 = - 3 B + 3 C$

Этап 1.3.3.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$B = 3 - C$

$A = - 2$

$0 = - 3 B + 3 C$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

$0 = - 3 B + 3 C$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

$0 = - 3 B + 3 C$

Этап 1.3.4

Заменим все вхождения $B$ на $3 - C$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $0 = - 3 B + 3 C$ на $3 - C$ .

$0 = - 3 (3 - C) + 3 C$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

Этап 1.3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1

Упростим $- 3 (3 - C) + 3 C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$0 = - 3 \cdot 3 - 3 (- C) + 3 C$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

Этап 1.3.4.2.1.1.2

Умножим $- 3$ на $3$ .

$0 = - 9 - 3 (- C) + 3 C$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

Этап 1.3.4.2.1.1.3

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$0 = - 9 + 3 C + 3 C$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

$0 = - 9 + 3 C + 3 C$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

Этап 1.3.4.2.1.2

Добавим $3 C$ и $3 C$ .

$0 = - 9 + 6 C$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

$0 = - 9 + 6 C$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

$0 = - 9 + 6 C$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

$0 = - 9 + 6 C$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

Этап 1.3.5

Решим относительно $C$ в $0 = - 9 + 6 C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Перепишем уравнение в виде $- 9 + 6 C = 0$ .

$- 9 + 6 C = 0$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

Этап 1.3.5.2

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$6 C = 9$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

Этап 1.3.5.3

Разделим каждый член $6 C = 9$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.3.1

Разделим каждый член $6 C = 9$ на $6$ .

$\frac{6 C}{6} = \frac{9}{6}$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

Этап 1.3.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.3.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 C}{6} = \frac{9}{6}$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

Этап 1.3.5.3.2.1.2

Разделим $C$ на $1$ .

$C = \frac{9}{6}$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

$C = \frac{9}{6}$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

$C = \frac{9}{6}$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

Этап 1.3.5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.3.3.1

Сократим общий множитель $9$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.3.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$C = \frac{3 (3)}{6}$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

Этап 1.3.5.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$C = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2}$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

Этап 1.3.5.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$C = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2}$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

Этап 1.3.5.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$C = \frac{3}{2}$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

$C = \frac{3}{2}$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

$C = \frac{3}{2}$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

$C = \frac{3}{2}$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

$C = \frac{3}{2}$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

$C = \frac{3}{2}$

$B = 3 - C$

$A = - 2$

Этап 1.3.6

Заменим все вхождения $C$ на $\frac{3}{2}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Заменим все вхождения $C$ в $B = 3 - C$ на $\frac{3}{2}$ .

$B = 3 - (\frac{3}{2})$

$C = \frac{3}{2}$

$A = - 2$

Этап 1.3.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.2.1

Упростим $3 - (\frac{3}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.2.1.1

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$B = 3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3}{2}$

$A = - 2$

Этап 1.3.6.2.1.2

Объединим $3$ и $\frac{2}{2}$ .

$B = \frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}$

$C = \frac{3}{2}$

$A = - 2$

Этап 1.3.6.2.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$B = \frac{3 \cdot 2 - 3}{2}$

$C = \frac{3}{2}$

$A = - 2$

Этап 1.3.6.2.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.2.1.4.1

Умножим $3$ на $2$ .

$B = \frac{6 - 3}{2}$

$C = \frac{3}{2}$

$A = - 2$

Этап 1.3.6.2.1.4.2

Вычтем $3$ из $6$ .

$B = \frac{3}{2}$

$C = \frac{3}{2}$

$A = - 2$

$B = \frac{3}{2}$

$C = \frac{3}{2}$

$A = - 2$

$B = \frac{3}{2}$

$C = \frac{3}{2}$

$A = - 2$

$B = \frac{3}{2}$

$C = \frac{3}{2}$

$A = - 2$

$B = \frac{3}{2}$

$C = \frac{3}{2}$

$A = - 2$

Этап 1.3.7

Перечислим все решения.

$B = \frac{3}{2}, C = \frac{3}{2}, A = - 2$

Этап 1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 3} + \frac{C}{x - 3}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ и $C$ .

$- \frac{2}{x} + \frac{\frac{3}{2}}{x + 3} + \frac{\frac{3}{2}}{x - 3}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{2}{x} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x + 3} + \frac{\frac{3}{2}}{x - 3}$

Этап 1.5.2

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{1}{x + 3}$ .

$- \frac{2}{x} + \frac{3}{2 (x + 3)} + \frac{\frac{3}{2}}{x - 3}$

Этап 1.5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{2}{x} + \frac{3}{2 (x + 3)} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x - 3}$

Этап 1.5.4

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{1}{x - 3}$ .

$\int - \frac{2}{x} + \frac{3}{2 (x + 3)} + \frac{3}{2 (x - 3)} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{2 (x + 3)} d x + \int \frac{3}{2 (x - 3)} d x$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{2 (x + 3)} d x + \int \frac{3}{2 (x - 3)} d x$

Этап 4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$- (2 \int \frac{1}{x} d x) + \int \frac{3}{2 (x + 3)} d x + \int \frac{3}{2 (x - 3)} d x$

Этап 5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{3}{2 (x + 3)} d x + \int \frac{3}{2 (x - 3)} d x$

Этап 6

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$- 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{3}{2 (x + 3)} d x + \int \frac{3}{2 (x - 3)} d x$

Этап 7

Поскольку $\frac{3}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{3}{2}$ из-под знака интеграла.

$- 2 (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} \int \frac{1}{x + 3} d x + \int \frac{3}{2 (x - 3)} d x$

Этап 8

Пусть $u_{1} = x + 3$ . Тогда $d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Пусть $u_{1} = x + 3$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Дифференцируем $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Этап 8.1.2

По правилу суммы производная $x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 8.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 8.1.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 8.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 8.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$- 2 (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{3}{2 (x - 3)} d x$

Этап 9

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$- 2 (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{3}{2 (x - 3)} d x$

Этап 10

Поскольку $\frac{3}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{3}{2}$ из-под знака интеграла.

$- 2 (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{3}{2} \int \frac{1}{x - 3} d x$

Этап 11

Пусть $u_{2} = x - 3$ . Тогда $d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Пусть $u_{2} = x - 3$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Дифференцируем $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Этап 11.1.2

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 11.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 11.1.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 11.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 11.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$- 2 (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 12

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$- 2 (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{3}{2} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Этап 13

Упростим.

$- 2 \ln (| x |) + \frac{3}{2} \ln (| u_{1} |) + \frac{3}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 14

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x + 3$ .

$- 2 \ln (| x |) + \frac{3}{2} \ln (| x + 3 |) + \frac{3}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 14.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x - 3$ .

$- 2 \ln (| x |) + \frac{3}{2} \ln (| x + 3 |) + \frac{3}{2} \ln (| x - 3 |) + C$