Математический анализ Примеры

$\int (\sqrt{x} - \frac{1}{x}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int \sqrt{x} - \frac{1}{x} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \sqrt{x} d x + \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{\frac{1}{2}} d x + \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C - \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C - (\ln (| x |) + C)$

Этап 7

Упростим.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - \ln (| x |) + C$