Математический анализ Примеры

$\int x \cdot f (\ln (x)) d x$

Этап 1

Умножим $x$ на $f \ln (x)$ .

$\int x (f \ln (x)) d x$

Этап 2

Поскольку $f$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $f$ из-под знака интеграла.

$f \int x (\ln (x)) d x$

Этап 3

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (x)$ и $d v = x$ .

$f (\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$f (\ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Этап 4.2

Объединим $\ln (x)$ и $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Этап 4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$f (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Этап 4.4

Умножим $\frac{x^{2}}{2}$ на $\frac{1}{x}$ .

$f (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2 x} d x)$

Этап 4.5

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$f (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{2 x} d x)$

Этап 4.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$f (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Этап 4.5.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Этап 4.5.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x}{2} d x)$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$f (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x))$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$f (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C))$

Этап 7.2

Перепишем $f (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C))$ в виде $f (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C$ .

$f (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C$

Этап 7.3

Изменим порядок членов.

$f (\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2}) + C$