Математический анализ Примеры

$\int \frac{x^{3} + x^{2} - x + 1}{x^{3}} d x$

Этап 1

Вынесем $x^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (x^{3} + x^{2} - x + 1) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Этап 2

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{3} + x^{2} - x + 1) x^{3 \cdot - 1} d x$

Этап 2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\int (x^{3} + x^{2} - x + 1) x^{- 3} d x$

Этап 3

Развернем $(x^{3} + x^{2} - x + 1) x^{- 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (x^{3} + x^{2} - x) x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (x^{3} + x^{2}) x^{- 3} - x \cdot x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x^{3} x^{- 3} + x^{2} x^{- 3} - x \cdot x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

Этап 3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{3 - 3} + x^{2} x^{- 3} - x \cdot x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

Этап 3.5

Вычтем $3$ из $3$ .

$\int x^{0} + x^{2} x^{- 3} - x \cdot x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

Этап 3.6

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\int 1 + x^{2} x^{- 3} - x \cdot x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

Этап 3.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 1 + x^{2 - 3} - x \cdot x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

Этап 3.8

Вычтем $3$ из $2$ .

$\int 1 + x^{- 1} - x \cdot x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

Этап 3.9

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\int 1 + x^{- 1} - (x \cdot x^{- 3}) + 1 x^{- 3} d x$

Этап 3.10

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int 1 + x^{- 1} - (x^{1} x^{- 3}) + 1 x^{- 3} d x$

Этап 3.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 1 + x^{- 1} - x^{1 - 3} + 1 x^{- 3} d x$

Этап 3.12

Вычтем $3$ из $1$ .

$\int 1 + x^{- 1} - x^{- 2} + 1 x^{- 3} d x$

Этап 3.13

Умножим $x^{- 3}$ на $1$ .

$\int 1 + x^{- 1} - x^{- 2} + x^{- 3} d x$

Этап 3.14

Изменим порядок $1$ и $x^{- 1}$ .

$\int x^{- 1} + 1 - x^{- 2} + x^{- 3} d x$

Этап 3.15

Перенесем $1$ .

$\int x^{- 1} - x^{- 2} + 1 + x^{- 3} d x$

Этап 3.16

Перенесем $1$ .

$\int x^{- 1} - x^{- 2} + x^{- 3} + 1 d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x^{- 1} d x + \int - x^{- 2} d x + \int x^{- 3} d x + \int d x$

Этап 5

Интеграл $x^{- 1}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C + \int - x^{- 2} d x + \int x^{- 3} d x + \int d x$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| x |) + C - \int x^{- 2} d x + \int x^{- 3} d x + \int d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$\ln (| x |) + C - (- x^{- 1} + C) + \int x^{- 3} d x + \int d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\ln (| x |) + C - (- x^{- 1} + C) - \frac{1}{2} x^{- 2} + C + \int d x$

Этап 9

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (| x |) + C - (- x^{- 1} + C) - \frac{1}{2} x^{- 2} + C + x + C$

Этап 10

Упростим.

$\ln (| x |) + \frac{1}{x} - \frac{1}{2 x^{2}} + x + C$