Математический анализ Примеры

$\ln (| \cos (\frac{π}{x}) |)$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = | \cos (\frac{π}{x}) |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $| \cos (\frac{π}{x}) |$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| \cos (\frac{π}{x}) |]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| \cos (\frac{π}{x}) |]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $| \cos (\frac{π}{x}) |$ .

$\frac{1}{| \cos (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [| \cos (\frac{π}{x}) |]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\cos (\frac{π}{x})$ .

$\frac{1}{| \cos (\frac{π}{x}) |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})])$

Этап 2.2

Производная $| u_{2} |$ по $u_{2}$ равна $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$\frac{1}{| \cos (\frac{π}{x}) |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\cos (\frac{π}{x})$ .

$\frac{1}{| \cos (\frac{π}{x}) |} (\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})])$

Этап 3

Умножим $\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos (\frac{π}{x}) |}$ на $\frac{1}{| \cos (\frac{π}{x}) |}$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos (\frac{π}{x}) | | \cos (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})]$

Этап 4

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos (\frac{π}{x}) \cos (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})]$

Этап 5

Возведем $\cos (\frac{π}{x})$ в степень $1$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos^{1} (\frac{π}{x}) \cos (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})]$

Этап 6

Возведем $\cos (\frac{π}{x})$ в степень $1$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos^{1} (\frac{π}{x}) \cos^{1} (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})]$

Этап 7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| {\cos (\frac{π}{x})}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})]$

Этап 8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})]$

Этап 9

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $\frac{π}{x}$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [\frac{π}{x}])$

Этап 9.2

Производная $\cos (u_{3})$ по $u_{3}$ равна $- \sin (u_{3})$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [\frac{π}{x}])$

Этап 9.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $\frac{π}{x}$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} (- \sin (\frac{π}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{π}{x}])$

Этап 10

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |}$ и $\sin (\frac{π}{x})$ .

$- \frac{\cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\frac{π}{x}]$

Этап 10.2

Поскольку $π$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{π}{x}$ по $x$ равна $π \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- \frac{\cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} (π \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Этап 10.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Объединим $π$ и $\frac{\cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |}$ .

$- \frac{π (\cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x}))}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 10.3.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 10.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} (- x^{- 2})$

Этап 10.5

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} x^{- 2}$

Этап 10.5.2

Умножим $\frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |}$ на $1$ .

$\frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} x^{- 2}$

Этап 10.5.3

Объединим $\frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |}$ и $x^{- 2}$ .

$\frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x}) x^{- 2}}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |}$

Этап 10.5.4

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) | x^{2}}$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Изменим порядок членов.

$\frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{x^{2} | \cos^{2} (\frac{π}{x}) |}$

Этап 11.2

Вынесем неотрицательные члены из-под знака модуля.

$\frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{x^{2} \cos^{2} (\frac{π}{x})}$

Этап 11.3

Сократим общий множитель $\cos (\frac{π}{x})$ и $\cos^{2} (\frac{π}{x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Вынесем множитель $\cos (\frac{π}{x})$ из $π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{x}) (π \sin (\frac{π}{x}))}{x^{2} \cos^{2} (\frac{π}{x})}$

Этап 11.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.1

Вынесем множитель $\cos (\frac{π}{x})$ из $x^{2} \cos^{2} (\frac{π}{x})$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{x}) (π \sin (\frac{π}{x}))}{\cos (\frac{π}{x}) (x^{2} \cos (\frac{π}{x}))}$

Этап 11.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (\frac{π}{x}) (π \sin (\frac{π}{x}))}{\cos (\frac{π}{x}) (x^{2} \cos (\frac{π}{x}))}$

Этап 11.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{π \sin (\frac{π}{x})}{x^{2} \cos (\frac{π}{x})}$

Этап 11.4

Разделим дроби.

$\frac{π}{x^{2}} \cdot \frac{\sin (\frac{π}{x})}{\cos (\frac{π}{x})}$

Этап 11.5

Переведем $\frac{\sin (\frac{π}{x})}{\cos (\frac{π}{x})}$ в $\tan (\frac{π}{x})$ .

$\frac{π}{x^{2}} \tan (\frac{π}{x})$

Этап 11.6

Объединим $\frac{π}{x^{2}}$ и $\tan (\frac{π}{x})$ .

$\frac{π \tan (\frac{π}{x})}{x^{2}}$