Математический анализ Примеры

$\int \frac{2 x^{3} - 5 x^{2} - 2 x - 3}{2 x^{2} + x + 1} d x$

Этап 1

Разделим $2 x^{3} - 5 x^{2} - 2 x - 3$ на $2 x^{2} + x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x$

$3$

Этап 1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x^{2}$ .

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x$

$3$

Этап 1.3

Умножим новое частное на делитель.

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x$

$3$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

Этап 1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{3} + x^{2} + x$ .

						$x$
$2 x^{2}$	+	$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$2 x$	-	$3$
					-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$

Этап 1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

						$x$
$2 x^{2}$	+	$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$2 x$	-	$3$
					-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x^{2}$	-	$3 x$

Этап 1.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

						$x$
$2 x^{2}$	+	$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$2 x$	-	$3$
					-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x^{2}$	-	$3 x$	-	$3$

Этап 1.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 6 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x^{2}$ .

						$x$	-	$3$
$2 x^{2}$	+	$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$2 x$	-	$3$
					-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x^{2}$	-	$3 x$	-	$3$

Этап 1.8

Умножим новое частное на делитель.

						$x$	-	$3$
$2 x^{2}$	+	$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$2 x$	-	$3$
					-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x^{2}$	-	$3 x$	-	$3$
							-	$6 x^{2}$	-	$3 x$	-	$3$

Этап 1.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 6 x^{2} - 3 x - 3$ .

						$x$	-	$3$
$2 x^{2}$	+	$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$2 x$	-	$3$
					-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x^{2}$	-	$3 x$	-	$3$
							+	$6 x^{2}$	+	$3 x$	+	$3$

Этап 1.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

						$x$	-	$3$
$2 x^{2}$	+	$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$2 x$	-	$3$
					-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x^{2}$	-	$3 x$	-	$3$
							+	$6 x^{2}$	+	$3 x$	+	$3$
												$0$

Этап 1.11

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$\int x - 3 d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x d x + \int - 3 d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 3 d x$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 3 x + C$

Этап 5

Упростим.

$\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + C$