Математический анализ Примеры

$\int_{2}^{4} \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x} d x$

Этап 1

Пусть $x = 2 \sec (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = 2 \sec (t) \tan (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $2 \sec (t) \tan (t)$ положительно.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Применим правило умножения к $2 \sec (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{2^{2} \sec^{2} (t) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{4 \sec^{2} (t) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $4$ из $4 \sec^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{4 (\sec^{2} (t)) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $4$ из $4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{4 (\sec^{2} (t) - 1)}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.5

Применим формулу Пифагора.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{4 \tan^{2} (t)}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.6

Перепишем $4 \tan^{2} (t)$ в виде ${(2 \tan (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2}}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.2

Сократим общий множитель $2 \sec (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $2 \sec (t)$ из $2 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) (\tan (t))) d t$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.2.3

Перепишем это выражение.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 \tan (t) \tan (t) d t$

Этап 3

Возведем $\tan (t)$ в степень $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 (\tan^{1} (t) \tan (t)) d t$

Этап 4

Возведем $\tan (t)$ в степень $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) d t$

Этап 5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 {\tan (t)}^{1 + 1} d t$

Этап 6

Добавим $1$ и $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 \tan^{2} (t) d t$

Этап 7

Поскольку $2$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{2} (t) d t$

Этап 8

Используя формулы Пифагора, запишем $\tan^{2} (t)$ в виде $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$2 \int_{0}^{\frac{π}{3}} - 1 + \sec^{2} (t) d t$

Этап 9

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$2 (\int_{0}^{\frac{π}{3}} - 1 d t + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (t) d t)$

Этап 10

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 (- t]_{0}^{\frac{π}{3}} + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (t) d t)$

Этап 11

Поскольку производная $\tan (t)$ равна $\sec^{2} (t)$ , интеграл $\sec^{2} (t)$ равен $\tan (t)$ .

$2 (- t]_{0}^{\frac{π}{3}} + \tan (t)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

Этап 12

Объединим $- t]_{0}^{\frac{π}{3}}$ и $\tan (t)]_{0}^{\frac{π}{3}}$ .

$2 (- t + \tan (t)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

Этап 13

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Найдем значение $- t + \tan (t)$ в $\frac{π}{3}$ и в $0$ .

$2 ((- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3})) - (- 0 + \tan (0)))$

Этап 13.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$2 (- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3}) - (0 + \tan (0)))$

Этап 13.2.2

Добавим $0$ и $\tan (0)$ .

$2 (- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3}) - \tan (0))$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Точное значение $\tan (\frac{π}{3})$ : $\sqrt{3}$ .

$2 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} - \tan (0))$

Этап 14.2

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$2 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} - 0)$

Этап 14.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$2 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} + 0)$

Этап 14.4

Добавим $- \frac{π}{3} + \sqrt{3}$ и $0$ .

$2 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3})$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (- \frac{π}{3}) + 2 \sqrt{3}$

Этап 15.2

Умножим $2 (- \frac{π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3}$

Этап 15.2.2

Объединим $- 2$ и $\frac{π}{3}$ .

$\frac{- 2 π}{3} + 2 \sqrt{3}$

Этап 15.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 π}{3} + 2 \sqrt{3}$

Этап 16

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{2 π}{3} + 2 \sqrt{3}$

Десятичная форма:

$1.36970651 \dots$

Этап 17