Математический анализ Примеры

$\ln (1 + \frac{a}{x})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 1 + \frac{a}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 + \frac{a}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 + \frac{a}{x}$ .

$\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $1 + \frac{a}{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$ .

$\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}])$

Этап 2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}])$

Этап 2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$ .

$\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$

Этап 2.4

Поскольку $a$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{a}{x}$ по $x$ равна $a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} (a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Этап 2.5

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Объединим $a$ и $\frac{1}{1 + \frac{a}{x}}$ .

$\frac{a}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 2.5.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$\frac{a}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$\frac{a}{1 + \frac{a}{x}} (- x^{- 2})$

Этап 2.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Объединим $\frac{a}{1 + \frac{a}{x}}$ и $x^{- 2}$ .

$- \frac{a x^{- 2}}{1 + \frac{a}{x}}$

Этап 2.7.2

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{a}{(1 + \frac{a}{x}) x^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{a}{1 x^{2} + \frac{a}{x} x^{2}}$

Этап 3.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{a}{x} x^{2}}$

Этап 3.2.2

Объединим $\frac{a}{x}$ и $x^{2}$ .

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{a x^{2}}{x}}$

Этап 3.2.3

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Вынесем множитель $x$ из $a x^{2}$ .

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x}}$

Этап 3.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x^{1}}}$

Этап 3.2.3.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x \cdot 1}}$

Этап 3.2.3.2.3

Сократим общий множитель.

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x \cdot 1}}$

Этап 3.2.3.2.4

Перепишем это выражение.

$- \frac{a}{x^{2} + \frac{a x}{1}}$

Этап 3.2.3.2.5

Разделим $a x$ на $1$ .

$- \frac{a}{x^{2} + a x}$

Этап 3.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} + a x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$- \frac{a}{x \cdot x + a x}$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $x$ из $a x$ .

$- \frac{a}{x \cdot x + x a}$

Этап 3.3.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x a$ .

$- \frac{a}{x (x + a)}$