Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 4} \sqrt{\frac{x^{2} - 3 x + 4}{2 x^{2} - x - 1}}$

Этап 1

Внесем предел под знак радикала.

$\sqrt{lim_{x \to 4} \frac{x^{2} - 3 x + 4}{2 x^{2} - x - 1}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 4} x^{2} - 3 x + 4}{lim_{x \to 4} 2 x^{2} - x - 1}}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 4} x^{2} - lim_{x \to 4} 3 x + lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} 2 x^{2} - x - 1}}$

Этап 4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} 3 x + lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} 2 x^{2} - x - 1}}$

Этап 5

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} 2 x^{2} - x - 1}}$

Этап 6

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $4$ .

$\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 4} x + 4}{lim_{x \to 4} 2 x^{2} - x - 1}}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 4} x + 4}{lim_{x \to 4} 2 x^{2} - lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 1}}$

Этап 8

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 4} x + 4}{2 lim_{x \to 4} x^{2} - lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 1}}$

Этап 9

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 4} x + 4}{2 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 1}}$

Этап 10

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $4$ .

$\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 4} x + 4}{2 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 1}}$

Этап 11

Найдем значения пределов, подставив значение $4$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\sqrt{\frac{4^{2} - 3 lim_{x \to 4} x + 4}{2 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 1}}$

Этап 11.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\sqrt{\frac{4^{2} - 3 \cdot 4 + 4}{2 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 1}}$

Этап 11.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\sqrt{\frac{4^{2} - 3 \cdot 4 + 4}{2 \cdot 4^{2} - lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 1}}$

Этап 11.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\sqrt{\frac{4^{2} - 3 \cdot 4 + 4}{2 \cdot 4^{2} - 4 - 1 \cdot 1}}$

Этап 12

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{16 - 3 \cdot 4 + 4}{2 \cdot 4^{2} - 4 - 1 \cdot 1}}$

Этап 12.2

Умножим $- 3$ на $4$ .

$\sqrt{\frac{16 - 12 + 4}{2 \cdot 4^{2} - 4 - 1 \cdot 1}}$

Этап 12.3

Вычтем $12$ из $16$ .

$\sqrt{\frac{4 + 4}{2 \cdot 4^{2} - 4 - 1 \cdot 1}}$

Этап 12.4

Добавим $4$ и $4$ .

$\sqrt{\frac{8}{2 \cdot 4^{2} - 4 - 1 \cdot 1}}$

Этап 12.5

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{8}{2 \cdot 16 - 4 - 1 \cdot 1}}$

Этап 12.6

Умножим $2$ на $16$ .

$\sqrt{\frac{8}{32 - 4 - 1 \cdot 1}}$

Этап 12.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\sqrt{\frac{8}{32 - 4 - 1}}$

Этап 12.8

Вычтем $4$ из $32$ .

$\sqrt{\frac{8}{28 - 1}}$

Этап 12.9

Вычтем $1$ из $28$ .

$\sqrt{\frac{8}{27}}$

Этап 12.10

Перепишем $\sqrt{\frac{8}{27}}$ в виде $\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{27}}$ .

$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{27}}$

Этап 12.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.11.1

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.11.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{\sqrt{4 (2)}}{\sqrt{27}}$

Этап 12.11.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{\sqrt{27}}$

Этап 12.11.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{27}}$

Этап 12.12

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.12.1

Перепишем $27$ в виде $3^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.12.1.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{9 (3)}}$

Этап 12.12.1.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}$

Этап 12.12.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{2 \sqrt{2}}{3 \sqrt{3}}$

Этап 12.13

Умножим $\frac{2 \sqrt{2}}{3 \sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{3 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 12.14

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.14.1

Умножим $\frac{2 \sqrt{2}}{3 \sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 12.14.2

Перенесем $\sqrt{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Этап 12.14.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}$

Этап 12.14.4

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}$

Этап 12.14.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 12.14.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3 {\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 12.14.7

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.14.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 12.14.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 12.14.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 12.14.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.14.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 12.14.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{1}}$

Этап 12.14.7.5

Найдем экспоненту.

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3 \cdot 3}$

Этап 12.15

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.15.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{2 \sqrt{3 \cdot 2}}{3 \cdot 3}$

Этап 12.15.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{3 \cdot 3}$

Этап 12.16

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{9}$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2 \sqrt{6}}{9}$

Десятичная форма:

$0.54433105 \dots$