Математический анализ Примеры

$arccsc (e^{x})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = arccsc (x)$ и $g (x) = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $e^{x}$ .

$\frac{d}{d u} [arccsc (u)] \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 1.2

Производная $arccsc (u)$ по $u$ равна $- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ .

$- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $e^{x}$ .

$- \frac{1}{e^{x} \sqrt{{(e^{x})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 2

Перемножим экспоненты в ${(e^{x})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{e^{x} \sqrt{e^{x \cdot 2} - 1}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 2.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$- \frac{1}{e^{x} \sqrt{e^{2 x} - 1}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$- \frac{1}{e^{x} \sqrt{e^{2 x} - 1}} e^{x}$

Этап 4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $e^{x}$ и $\frac{1}{e^{x} \sqrt{e^{2 x} - 1}}$ .

$- \frac{e^{x}}{e^{x} \sqrt{e^{2 x} - 1}}$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{e^{x}}{e^{x} \sqrt{e^{2 x} - 1}}$

Этап 4.2.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{\sqrt{e^{2 x} - 1}}$