Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} {(\frac{x}{x - 2})}^{x}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(\frac{x}{x - 2})}^{x}$ в виде $e^{\ln ({(\frac{x}{x - 2})}^{x})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\frac{x}{x - 2})}^{x})}$

Этап 1.2

Развернем $\ln ({(\frac{x}{x - 2})}^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$lim_{x \to \infty} e^{x \ln (\frac{x}{x - 2})}$

Этап 2

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{x \to \infty} x \ln (\frac{x}{x - 2})}$

Этап 3

Перепишем $x \ln (\frac{x}{x - 2})$ в виде $\frac{\ln (\frac{x}{x - 2})}{\frac{1}{x}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x}{x - 2})}{\frac{1}{x}}}$

Этап 4

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (\frac{x}{x - 2})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 4.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Внесем предел под знак логарифма.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{x}{x - 2})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 4.1.2.2

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x$ .

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{- 2}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 4.1.2.3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{- 2}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 4.1.2.3.1.2

Перепишем это выражение.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{- 2}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 4.1.2.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{- 2}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 4.1.2.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{- 2}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 4.1.2.3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 - \frac{2}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 4.1.2.3.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{2}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 4.1.2.3.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{2}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 4.1.2.3.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 4.1.2.3.6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{1 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 4.1.2.3.7

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{1 - 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 4.1.2.4

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{1 - 2 \cdot 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 4.1.2.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.1.1

Умножим $- 2$ на $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{1 + 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 4.1.2.5.1.2

Добавим $1$ и $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 4.1.2.5.2

Разделим $1$ на $1$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 4.1.2.5.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 4.1.3

$e^{\frac{0}{0}}$

Этап 4.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$e^{\frac{0}{0}}$

Этап 4.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x}{x - 2})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{x - 2})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 4.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{x - 2})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \frac{x}{x - 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x}{x - 2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{x - 2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\frac{x}{x - 2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{x}{x - 2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1 \frac{x - 2}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.4

Умножим $\frac{x - 2}{x}$ на $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 2}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.5

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x - 2$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 2}{x} \cdot \frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 2}{x} \cdot \frac{(x - 2) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.7

Умножим $x - 2$ на $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 2}{x} \cdot \frac{x - 2 - x \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.8

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 2}{x} \cdot \frac{x - 2 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 2}{x} \cdot \frac{x - 2 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.10

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 2}{x} \cdot \frac{x - 2 - x (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.11

Добавим $1$ и $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 2}{x} \cdot \frac{x - 2 - x \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.12

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 2}{x} \cdot \frac{x - 2 - x}{{(x - 2)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.13

Вычтем $x$ из $x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 2}{x} \cdot \frac{0 - 2}{{(x - 2)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.14

Вычтем $2$ из $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 2}{x} \cdot \frac{- 2}{{(x - 2)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 2}{x} \cdot - 1 \frac{2}{{(x - 2)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.16

Умножим $\frac{x - 2}{x}$ на $\frac{2}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{(x - 2) \cdot 2}{x {(x - 2)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.17

Перенесем $2$ влево от $x - 2$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2 \cdot (x - 2)}{x {(x - 2)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.18

Сократим общий множитель $x - 2$ и ${(x - 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.18.1

Вынесем множитель $x - 2$ из $2 (x - 2)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{(x - 2) \cdot 2}{x {(x - 2)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.18.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.18.2.1

Вынесем множитель $x - 2$ из $x {(x - 2)}^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{(x - 2) \cdot 2}{(x - 2) x (x - 2)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.18.2.2

Сократим общий множитель.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{(x - 2) \cdot 2}{(x - 2) x (x - 2)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.18.2.3

Перепишем это выражение.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{x (x - 2)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.19

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{x (x - 2)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

Этап 4.3.20

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{x (x - 2)}}{- x^{- 2}}}$

Этап 4.3.21

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{x (x - 2)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 4.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{2}{x (x - 2)} \cdot - 1 x^{2}}$

Этап 4.5

Объединим множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} 1 \frac{2}{x (x - 2)} x^{2}}$

Этап 4.5.2

Умножим $\frac{2}{x (x - 2)}$ на $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x (x - 2)} x^{2}}$

Этап 4.5.3

Объединим $\frac{2}{x (x - 2)}$ и $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2}}{x (x - 2)}}$

Этап 4.6

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot 2 x}{x (x - 2)}}$

Этап 4.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Сократим общий множитель.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot 2 x}{x (x - 2)}}$

Этап 4.6.2.2

Перепишем это выражение.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x - 2}}$

Этап 5

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x - 2}}$

Этап 6

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{- 2}{x}}}$

Этап 7

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Сократим общий множитель.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{- 2}{x}}}$

Этап 7.1.2

Перепишем это выражение.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{- 2}{x}}}$

Этап 7.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{- 2}{x}}}$

Этап 7.2.1.2

Перепишем это выражение.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{- 2}{x}}}$

Этап 7.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 - \frac{2}{x}}}$

Этап 7.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$e^{2 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{2}{x}}}$

Этап 7.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$e^{2 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{2}{x}}}$

Этап 7.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$e^{2 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}}$

Этап 7.6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$e^{2 \frac{1}{1 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}}$

Этап 7.7

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{2 \frac{1}{1 - 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 8

$e^{2 \frac{1}{1 - 2 \cdot 0}}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Умножим $- 2$ на $0$ .

$e^{2 \frac{1}{1 + 0}}$

Этап 9.1.2

Добавим $1$ и $0$ .

$e^{2 (\frac{1}{1})}$

Этап 9.2

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Сократим общий множитель.

$e^{2 (\frac{1}{1})}$

Этап 9.2.2

Перепишем это выражение.

$e^{2 \cdot 1}$

Этап 9.3

Умножим $2$ на $1$ .

$e^{2}$