Математический анализ Примеры

$\frac{\sqrt{3 x - 2}}{x}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 x - 2}$ в виде ${(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{{(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}{x}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}] - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 3 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x - 2$ .

$\frac{x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x - 2$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x (\frac{1}{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(3 x - 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{x (\frac{1}{2} {(3 x - 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(3 x - 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x (\frac{{(3 x - 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 8.3

Перенесем ${(3 x - 2)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 8.4

Объединим $\frac{1}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x - 2] - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 9

По правилу суммы производная $3 x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 10

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 12

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 + \frac{d}{d x} [- 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 13

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 + 0) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 14

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Добавим $3$ и $0$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 3 - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 14.2

Объединим $\frac{x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ и $3$ .

$\frac{\frac{x \cdot 3}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 14.3

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$\frac{\frac{3 \cdot x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 15

Умножим $\frac{\frac{3 x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$ на $\frac{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{3 x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 16

Объединим.

$\frac{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} (\frac{3 x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Этап 17

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{3 x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} (- {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Этап 18

Сократим общий множитель $2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{3 x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} (- {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Этап 18.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3 x + 2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} (- {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Этап 19

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{3 x - 2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} ({(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Этап 20

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 x - 2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Этап 21

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 x - 2 {(3 x - 2)}^{\frac{1 + 1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Этап 21.2

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{3 x - 2 {(3 x - 2)}^{\frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Этап 22

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x - 2 {(3 x - 2)}^{\frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Этап 22.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3 x - 2 {(3 x - 2)}^{1} \frac{d}{d x} [x]}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Этап 23

Упростим.

$\frac{3 x - 2 (3 x - 2) \frac{d}{d x} [x]}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Этап 24

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{3 x - 2 (3 x - 2) \cdot 1}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Этап 25

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{3 x - 2 (3 x - 2)}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Этап 26

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Этап 26.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.2.1.1

Умножим $3$ на $- 2$ .

$\frac{3 x - 6 x - 2 \cdot - 2}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Этап 26.2.1.2

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$\frac{3 x - 6 x + 4}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Этап 26.2.2

Вычтем $6 x$ из $3 x$ .

$\frac{- 3 x + 4}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Этап 26.3

Изменим порядок членов.

$\frac{- 3 x + 4}{2 x^{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 26.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x$ .

$\frac{- (3 x) + 4}{2 x^{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 26.5

Перепишем $4$ в виде $- 1 (- 4)$ .

$\frac{- (3 x) - 1 (- 4)}{2 x^{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 26.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{- (3 x - 4)}{2 x^{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 26.7

Перепишем $- (3 x - 4)$ в виде $- 1 (3 x - 4)$ .

$\frac{- 1 (3 x - 4)}{2 x^{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 26.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3 x - 4}{2 x^{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$