Математический анализ Примеры

$\int_{- 1}^{1} (2 x^{2} - x^{3}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{- 1}^{1} 2 x^{2} - x^{3} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 1}^{1} 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} - x^{3} d x$

Этап 3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} - x^{3} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - x^{3} d x$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - x^{3} d x$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - \int_{- 1}^{1} x^{3} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{1})$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1})$

Этап 8.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $1$ и в $- 1$ .

$2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1})$

Этап 8.2.2

Найдем значение $\frac{x^{4}}{4}$ в $1$ и в $- 1$ .

$2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4})$

Этап 8.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$2 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4})$

Этап 8.2.3.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$2 (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4})$

Этап 8.2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 (\frac{1}{3} - - \frac{1}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4})$

Этап 8.2.3.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4})$

Этап 8.2.3.5

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$2 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4})$

Этап 8.2.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 \frac{1 + 1}{3} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4})$

Этап 8.2.3.7

Добавим $1$ и $1$ .

$2 (\frac{2}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4})$

Этап 8.2.3.8

Объединим $2$ и $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4})$

Этап 8.2.3.9

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4}{3} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4})$

Этап 8.2.3.10

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{4}{3} - (\frac{1}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4})$

Этап 8.2.3.11

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$\frac{4}{3} - (\frac{1}{4} - \frac{1}{4})$

Этап 8.2.3.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4}{3} - \frac{1 - 1}{4}$

Этап 8.2.3.13

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{4}{3} - \frac{0}{4}$

Этап 8.2.3.14

Сократим общий множитель $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.14.1

Вынесем множитель $4$ из $0$ .

$\frac{4}{3} - \frac{4 (0)}{4}$

Этап 8.2.3.14.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.14.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4}{3} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}$

Этап 8.2.3.14.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{3} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}$

Этап 8.2.3.14.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4}{3} - \frac{0}{1}$

Этап 8.2.3.14.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{4}{3} - 0$

Этап 8.2.3.15

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{4}{3} + 0$

Этап 8.2.3.16

Добавим $\frac{4}{3}$ и $0$ .

$\frac{4}{3}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{4}{3}$

Десятичная форма:

$1.\overline{3}$

Форма смешанных чисел:

$1 \frac{1}{3}$

Этап 10