Математический анализ Примеры

$y = 4 x - x^{2}$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$4 x - x^{2} = 0$

Этап 1.2

Решим $4 x - x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$4 u - u^{2} = 0$

Этап 1.2.1.2

Вынесем множитель $u$ из $4 u - u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.2.1

Вынесем множитель $u$ из $4 u$ .

$u \cdot 4 - u^{2} = 0$

Этап 1.2.1.2.2

Вынесем множитель $u$ из $- u^{2}$ .

$u \cdot 4 + u (- u) = 0$

Этап 1.2.1.2.3

Вынесем множитель $u$ из $u \cdot 4 + u (- u)$ .

$u (4 - u) = 0$

Этап 1.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$x (4 - x) = 0$

Этап 1.2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$4 - x = 0 + y = 0$

Этап 1.2.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.4

Приравняем $4 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Приравняем $4 - x$ к $0$ .

$4 - x = 0$

Этап 1.2.4.2

Решим $4 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 4$

Этап 1.2.4.2.2

Разделим каждый член $- x = - 4$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 4$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 1.2.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 1.2.4.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 1.2.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.3.1

Разделим $- 4$ на $- 1$ .

$x = 4$

Этап 1.2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (4 - x) = 0$ верно.

$x = 0, 4$

Этап 1.3

Подставим $0$ вместо $x$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(0, 0)$

$(4, 0)$

$(0, 0)$

$(4, 0)$

Этап 2

Изменим порядок $4 x$ и $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 4 x$

Этап 3

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{0}^{4} - x^{2} + 4 x d x - \int_{0}^{4} 0 d x$

Этап 4

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{0}^{4} - x^{2} + 4 x - (0) d x$

Этап 4.2

Вычтем $0$ из $- x^{2} + 4 x$ .

$\int_{0}^{4} - x^{2} + 4 x d x$

Этап 4.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{4} - x^{2} d x + \int_{0}^{4} 4 x d x$

Этап 4.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{0}^{4} x^{2} d x + \int_{0}^{4} 4 x d x$

Этап 4.5

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} 4 x d x$

Этап 4.6

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} 4 x d x$

Этап 4.7

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) + 4 \int_{0}^{4} x d x$

Этап 4.8

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{4})$

Этап 4.9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Этап 4.9.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $4$ и в $0$ .

$- ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Этап 4.9.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $4$ и в $0$ .

$- (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.3.1

Возведем $4$ в степень $3$ .

$- (\frac{64}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- (\frac{64}{3} - \frac{0}{3}) + 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.3

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.3.3.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$- (\frac{64}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.3.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$- (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- (\frac{64}{3} - \frac{0}{1}) + 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.3.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- (\frac{64}{3} - 0) + 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- (\frac{64}{3} + 0) + 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.5

Добавим $\frac{64}{3}$ и $0$ .

$- \frac{64}{3} + 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.6

Возведем $4$ в степень $2$ .

$- \frac{64}{3} + 4 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.7

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.3.7.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$- \frac{64}{3} + 4 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.3.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{64}{3} + 4 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.7.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{64}{3} + 4 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.7.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{64}{3} + 4 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.7.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$- \frac{64}{3} + 4 (8 - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.8

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{64}{3} + 4 (8 - \frac{0}{2})$

Этап 4.9.2.3.9

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.3.9.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$- \frac{64}{3} + 4 (8 - \frac{2 (0)}{2})$

Этап 4.9.2.3.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.3.9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{64}{3} + 4 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 4.9.2.3.9.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{64}{3} + 4 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 4.9.2.3.9.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{64}{3} + 4 (8 - \frac{0}{1})$

Этап 4.9.2.3.9.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- \frac{64}{3} + 4 (8 - 0)$

Этап 4.9.2.3.10

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- \frac{64}{3} + 4 (8 + 0)$

Этап 4.9.2.3.11

Добавим $8$ и $0$ .

$- \frac{64}{3} + 4 \cdot 8$

Этап 4.9.2.3.12

Умножим $4$ на $8$ .

$- \frac{64}{3} + 32$

Этап 4.9.2.3.13

Чтобы записать $32$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{64}{3} + 32 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 4.9.2.3.14

Объединим $32$ и $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{64}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3}$

Этап 4.9.2.3.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 64 + 32 \cdot 3}{3}$

Этап 4.9.2.3.16

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.3.16.1

Умножим $32$ на $3$ .

$\frac{- 64 + 96}{3}$

Этап 4.9.2.3.16.2

Добавим $- 64$ и $96$ .

$\frac{32}{3}$

Этап 5