Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - x^{2}}} d x$

Этап 1

Пусть $x = 3 \sin (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = 3 \cos (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $3 \cos (t)$ положительно.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Применим правило умножения к $3 \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.1.3

Умножим $9$ на $- 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $9$ из $9$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $9$ из $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $9$ из $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.5

Применим формулу Пифагора.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \cos^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.6

Перепишем $9 \cos^{2} (t)$ в виде ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t$

Этап 2.1.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int \frac{1}{3 \cos (t)} (3 \cos (t)) d t$

Этап 2.2

Сократим общий множитель $3 \cos (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель.

$\int \frac{1}{3 \cos (t)} (3 \cos (t)) d t$

Этап 2.2.2

Перепишем это выражение.

$\int d t$

Этап 3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$t + C$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим все вхождения $t$ на $\arcsin (\frac{x}{3})$ .

$\arcsin (\frac{x}{3}) + C$

Этап 4.2

Изменим порядок членов.

$\arcsin (\frac{1}{3} x) + C$