Математический анализ Примеры

$\int \frac{x^{- 1} - x^{- 2} + x^{- 3}}{x^{2}} d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $x^{- 3}$ из $x^{- 1} - x^{- 2} + x^{- 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $x^{- 3}$ из $x^{- 1}$ .

$\int \frac{x^{- 3} x^{2} - x^{- 2} + x^{- 3}}{x^{2}} d x$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $x^{- 3}$ из $- x^{- 2}$ .

$\int \frac{x^{- 3} x^{2} + x^{- 3} (- x) + x^{- 3}}{x^{2}} d x$

Этап 1.1.3

Умножим на $1$ .

$\int \frac{x^{- 3} x^{2} + x^{- 3} (- x) + x^{- 3} \cdot 1}{x^{2}} d x$

Этап 1.1.4

Вынесем множитель $x^{- 3}$ из $x^{- 3} x^{2} + x^{- 3} (- x)$ .

$\int \frac{x^{- 3} (x^{2} - x) + x^{- 3} \cdot 1}{x^{2}} d x$

Этап 1.1.5

Вынесем множитель $x^{- 3}$ из $x^{- 3} (x^{2} - x) + x^{- 3} \cdot 1$ .

$\int \frac{x^{- 3} (x^{2} - x + 1)}{x^{2}} d x$

Этап 1.2

Перенесем $x^{- 3}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int \frac{x^{2} - x + 1}{x^{2} x^{3}} d x$

Этап 1.3

Умножим $x^{2}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \frac{x^{2} - x + 1}{x^{2 + 3}} d x$

Этап 1.3.2

Добавим $2$ и $3$ .

$\int \frac{x^{2} - x + 1}{x^{5}} d x$

Этап 2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем $x^{5}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (x^{2} - x + 1) {(x^{5})}^{- 1} d x$

Этап 2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{5})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{2} - x + 1) x^{5 \cdot - 1} d x$

Этап 2.2.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\int (x^{2} - x + 1) x^{- 5} d x$

Этап 3

Развернем $(x^{2} - x + 1) x^{- 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (x^{2} - x) x^{- 5} + 1 x^{- 5} d x$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x^{2} x^{- 5} - x \cdot x^{- 5} + 1 x^{- 5} d x$

Этап 3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{2 - 5} - x \cdot x^{- 5} + 1 x^{- 5} d x$

Этап 3.4

Вычтем $5$ из $2$ .

$\int x^{- 3} - x \cdot x^{- 5} + 1 x^{- 5} d x$

Этап 3.5

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\int x^{- 3} - (x \cdot x^{- 5}) + 1 x^{- 5} d x$

Этап 3.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int x^{- 3} - (x^{1} x^{- 5}) + 1 x^{- 5} d x$

Этап 3.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{- 3} - x^{1 - 5} + 1 x^{- 5} d x$

Этап 3.8

Вычтем $5$ из $1$ .

$\int x^{- 3} - x^{- 4} + 1 x^{- 5} d x$

Этап 3.9

Умножим $x^{- 5}$ на $1$ .

$\int x^{- 3} - x^{- 4} + x^{- 5} d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x^{- 3} d x + \int - x^{- 4} d x + \int x^{- 5} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C + \int - x^{- 4} d x + \int x^{- 5} d x$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C - \int x^{- 4} d x + \int x^{- 5} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{- 4}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C - (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C) + \int x^{- 5} d x$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $x^{- 3}$ и $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C - (- \frac{x^{- 3}}{3} + C) + \int x^{- 5} d x$

Этап 8.2

Перенесем $x^{- 3}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C - (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + \int x^{- 5} d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{- 5}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C - (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - \frac{1}{4} x^{- 4} + C$

Этап 10

Упростим.

$- \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{1}{3 x^{3}} - \frac{1}{4} x^{- 4} + C$