Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{\infty} \frac{e^{- \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x$

Этап 1

Запишем интеграл в виде предела, когда $t$ стремится к $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{e^{- \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x$

Этап 2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{e^{- x^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{x}} d x$

Этап 2.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{e^{- x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 2.3

Вынесем $x^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} e^{- x^{\frac{1}{2}}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Этап 2.4

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} e^{- x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Этап 2.4.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} e^{- x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Этап 2.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} e^{- x^{\frac{1}{2}}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 3

Пусть $u = - x^{\frac{1}{2}}$ . Тогда $d u = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , следовательно $1 d u = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = - x^{\frac{1}{2}}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $- x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Этап 3.1.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 3.1.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 3.1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 3.1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Этап 3.1.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Этап 3.1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Этап 3.1.9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 3.1.10

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = - x^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{lower} = - 1^{\frac{1}{2}}$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$u_{lower} = - 1 \cdot 1$

Этап 3.3.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$u_{lower} = - 1$

Этап 3.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = - x^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = - t^{\frac{1}{2}}$

Этап 3.5

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - t^{\frac{1}{2}}$

Этап 3.6

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$lim_{t \to \infty} \int_{- 1}^{- t^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 2 e^{u} d u$

Этап 4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{- 1}^{- t^{\frac{1}{2}}} - 2 e^{u} d u$

Этап 5

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$lim_{t \to \infty} - 2 \int_{- 1}^{- t^{\frac{1}{2}}} e^{u} d u$

Этап 6

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$lim_{t \to \infty} - 2 (e^{u}]_{- 1}^{- t^{\frac{1}{2}}})$

Этап 7

Найдем значение $e^{u}$ в $- t^{\frac{1}{2}}$ и в $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} - 2 (e^{- t^{\frac{1}{2}}} - e^{- 1})$

Этап 8

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Вынесем член $- 2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$- 2 lim_{t \to \infty} e^{- t^{\frac{1}{2}}} - e^{- 1}$

Этап 8.1.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $\infty$ .

$- 2 (lim_{t \to \infty} e^{- t^{\frac{1}{2}}} - lim_{t \to \infty} e^{- 1})$

Этап 8.2

Поскольку показатель степени $- t^{\frac{1}{2}}$ стремится к $- \infty$ , величина $e^{- t^{\frac{1}{2}}}$ стремится к $0$ .

$- 2 (0 - lim_{t \to \infty} e^{- 1})$

Этап 8.3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Найдем предел $e^{- 1}$ , который является константой по мере приближения $t$ к $\infty$ .

$- 2 (0 - e^{- 1})$

Этап 8.3.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 (0 - \frac{1}{e})$

Этап 8.3.2.2

Вычтем $\frac{1}{e}$ из $0$ .

$- 2 (- \frac{1}{e})$

Этап 8.3.2.3

Умножим $- 2 (- \frac{1}{e})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.3.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$2 \frac{1}{e}$

Этап 8.3.2.3.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{e}$ .

$\frac{2}{e}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2}{e}$

Десятичная форма:

$0.73575888 \dots$