Математический анализ Примеры

$y'''' + y'''''''' = 6 e^{2 x}$ , $y = e^{2 x}$

Этап 1

Найдем $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{2 x})$

Этап 1.2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 1.3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.3.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Этап 1.3.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2$

Этап 1.3.2.3.2

Перенесем $2$ влево от $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x}$

Этап 1.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = 2 e^{2 x}$

Этап 2

Найдем $y''$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим производную.

$y'' = \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

Этап 2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 e^{2 x}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$y'' = 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Этап 2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$y'' = 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 2.3.2

$y'' = 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$y'' = 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 2.4

Избавимся от скобок.

$y'' = 2 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.5

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = 2 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.6

Умножим $2$ на $2$ .

$y'' = 4 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y'' = 4 e^{2 x} \cdot 1$

Этап 2.8

Умножим $4$ на $1$ .

$y'' = 4 e^{2 x}$

Этап 3

Найдем $y'''$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим производную.

$y''' = \frac{d}{d x} [4 e^{2 x}]$

Этап 3.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 e^{2 x}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$y''' = 4 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Этап 3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$y''' = 4 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 3.3.2

$y''' = 4 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$y''' = 4 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 3.4

Избавимся от скобок.

$y''' = 4 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 3.5

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y''' = 4 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.6

Умножим $2$ на $4$ .

$y''' = 8 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y''' = 8 e^{2 x} \cdot 1$

Этап 3.8

Умножим $8$ на $1$ .

$y''' = 8 e^{2 x}$

Этап 4

Найдем $y''''$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим производную.

$y'''' = \frac{d}{d x} [8 e^{2 x}]$

Этап 4.2

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 e^{2 x}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$y'''' = 8 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Этап 4.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$y'''' = 8 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 4.3.2

$y'''' = 8 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 4.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$y'''' = 8 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 4.4

Избавимся от скобок.

$y'''' = 8 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 4.5

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'''' = 8 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.6

Умножим $2$ на $8$ .

$y'''' = 16 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y'''' = 16 e^{2 x} \cdot 1$

Этап 4.8

Умножим $16$ на $1$ .

$y'''' = 16 e^{2 x}$

Этап 5

Найдем $y'''''$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Зададим производную.

$y''''' = \frac{d}{d x} [16 e^{2 x}]$

Этап 5.2

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16 e^{2 x}$ по $x$ равна $16 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$y''''' = 16 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Этап 5.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$y''''' = 16 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 5.3.2

$y''''' = 16 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 5.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$y''''' = 16 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 5.4

Избавимся от скобок.

$y''''' = 16 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 5.5

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y''''' = 16 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 5.6

Умножим $2$ на $16$ .

$y''''' = 32 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y''''' = 32 e^{2 x} \cdot 1$

Этап 5.8

Умножим $32$ на $1$ .

$y''''' = 32 e^{2 x}$

Этап 6

Найдем $y''''''$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим производную.

$y'''''' = \frac{d}{d x} [32 e^{2 x}]$

Этап 6.2

Поскольку $32$ является константой относительно $x$ , производная $32 e^{2 x}$ по $x$ равна $32 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$y'''''' = 32 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Этап 6.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$y'''''' = 32 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 6.3.2

$y'''''' = 32 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 6.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$y'''''' = 32 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 6.4

Избавимся от скобок.

$y'''''' = 32 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 6.5

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'''''' = 32 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 6.6

Умножим $2$ на $32$ .

$y'''''' = 64 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 6.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y'''''' = 64 e^{2 x} \cdot 1$

Этап 6.8

Умножим $64$ на $1$ .

$y'''''' = 64 e^{2 x}$

Этап 7

Найдем $y'''''''$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Зададим производную.

$y''''''' = \frac{d}{d x} [64 e^{2 x}]$

Этап 7.2

Поскольку $64$ является константой относительно $x$ , производная $64 e^{2 x}$ по $x$ равна $64 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$y''''''' = 64 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Этап 7.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$y''''''' = 64 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 7.3.2

$y''''''' = 64 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 7.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$y''''''' = 64 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 7.4

Избавимся от скобок.

$y''''''' = 64 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 7.5

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y''''''' = 64 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 7.6

Умножим $2$ на $64$ .

$y''''''' = 128 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y''''''' = 128 e^{2 x} \cdot 1$

Этап 7.8

Умножим $128$ на $1$ .

$y''''''' = 128 e^{2 x}$

Этап 8

Найдем $y''''''''$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Зададим производную.

$y'''''''' = \frac{d}{d x} [128 e^{2 x}]$

Этап 8.2

Поскольку $128$ является константой относительно $x$ , производная $128 e^{2 x}$ по $x$ равна $128 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$y'''''''' = 128 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Этап 8.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$y'''''''' = 128 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 8.3.2

$y'''''''' = 128 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 8.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$y'''''''' = 128 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 8.4

Избавимся от скобок.

$y'''''''' = 128 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 8.5

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'''''''' = 128 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 8.6

Умножим $2$ на $128$ .

$y'''''''' = 256 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 8.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y'''''''' = 256 e^{2 x} \cdot 1$

Этап 8.8

Умножим $256$ на $1$ .

$y'''''''' = 256 e^{2 x}$

Этап 9

Подставим в заданное дифференциальное уравнение.

$16 e^{2 x} + 256 e^{2 x} = 6 e^{2 x}$

Этап 10

Добавим $16 e^{2 x}$ и $256 e^{2 x}$ .

$272 e^{2 x} = 6 e^{2 x}$

Этап 11

Данное решение не удовлетворяет заданному дифференциальному уравнению.

$y = e^{2 x}$ не является решением уравнения $y'''' + y'''''''' = 6 e^{2 x}$