Математический анализ Примеры

$lim_{h \to 0} \frac{7 e^{x} - 7 e^{x + h}}{4 h}$

Этап 1

Вынесем член $\frac{1}{4}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$\frac{1}{4} lim_{h \to 0} \frac{7 e^{x} - 7 e^{x + h}}{h}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 7 e^{x} - 7 e^{x + h}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 7 e^{x} - lim_{h \to 0} 7 e^{x + h}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.1.2

Найдем предел $7 e^{x}$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{7 e^{x} - lim_{h \to 0} 7 e^{x + h}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.1.3

Вынесем член $7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{7 e^{x} - 7 lim_{h \to 0} e^{x + h}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.1.4

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{7 e^{x} - 7 e^{lim_{h \to 0} x + h}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.1.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{7 e^{x} - 7 e^{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.1.6

Найдем предел $x$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{7 e^{x} - 7 e^{x + lim_{h \to 0} h}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.2

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{7 e^{x} - 7 e^{x + 0}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.3

Объединим противоположные члены в $7 e^{x} - 7 e^{x + 0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Добавим $x$ и $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{7 e^{x} - 7 e^{x}}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.3.2

Вычтем $7 e^{x}$ из $7 e^{x}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.3

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{h \to 0} \frac{7 e^{x} - 7 e^{x + h}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [7 e^{x} - 7 e^{x + h}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\frac{1}{4} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [7 e^{x} - 7 e^{x + h}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $7 e^{x} - 7 e^{x + h}$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [7 e^{x}] + \frac{d}{d h} [- 7 e^{x + h}]$ .

$\frac{1}{4} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [7 e^{x}] + \frac{d}{d h} [- 7 e^{x + h}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.3

Поскольку $7 e^{x}$ является константой относительно $h$ , производная $7 e^{x}$ относительно $h$ равна $0$ .

$\frac{1}{4} lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [- 7 e^{x + h}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d h} [- 7 e^{x + h}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Поскольку $- 7$ является константой относительно $h$ , производная $- 7 e^{x + h}$ по $h$ равна $- 7 \frac{d}{d h} [e^{x + h}]$ .

$\frac{1}{4} lim_{h \to 0} \frac{0 - 7 \frac{d}{d h} [e^{x + h}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.4.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ имеет вид $f' (g (h)) g' (h)$ , где $f (h) = e^{h}$ и $g (h) = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + h$ .

$\frac{1}{4} lim_{h \to 0} \frac{0 - 7 \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d h} [x + h]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.4.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{1}{4} lim_{h \to 0} \frac{0 - 7 e^{u} \frac{d}{d h} [x + h]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + h$ .

$\frac{1}{4} lim_{h \to 0} \frac{0 - 7 e^{x + h} \frac{d}{d h} [x + h]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.4.3

По правилу суммы производная $x + h$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{1}{4} lim_{h \to 0} \frac{0 - 7 e^{x + h} (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.4.4

Поскольку $x$ является константой относительно $h$ , производная $x$ относительно $h$ равна $0$ .

$\frac{1}{4} lim_{h \to 0} \frac{0 - 7 e^{x + h} (0 + \frac{d}{d h} [h])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{4} lim_{h \to 0} \frac{0 - 7 e^{x + h} (0 + 1)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.4.6

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{h \to 0} \frac{0 - 7 e^{x + h} \cdot 1}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.4.7

Умножим $e^{x + h}$ на $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{h \to 0} \frac{0 - 7 e^{x + h}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.5

Вычтем $7 e^{x + h}$ из $0$ .

$\frac{1}{4} lim_{h \to 0} \frac{- 7 e^{x + h}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{4} lim_{h \to 0} \frac{- 7 e^{x + h}}{1}$

Этап 2.4

Разделим $- 7 e^{x + h}$ на $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{h \to 0} - 7 e^{x + h}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем член $- 7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$\frac{1}{4} \cdot - 7 lim_{h \to 0} e^{x + h}$

Этап 3.2

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{1}{4} \cdot - 7 e^{lim_{h \to 0} x + h}$

Этап 3.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot - 7 e^{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h}$

Этап 3.4

Найдем предел $x$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot - 7 e^{x + lim_{h \to 0} h}$

Этап 4

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{1}{4} \cdot - 7 e^{x + 0}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $- 7$ .

$\frac{- 7}{4} e^{x + 0}$

Этап 5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{7}{4} e^{x + 0}$

Этап 5.3

Добавим $x$ и $0$ .

$- \frac{7}{4} e^{x}$

Этап 5.4

Объединим $e^{x}$ и $\frac{7}{4}$ .

$- \frac{e^{x} \cdot 7}{4}$

Этап 5.5

Перенесем $7$ влево от $e^{x}$ .

$- \frac{7 e^{x}}{4}$