Математический анализ Примеры

$lim_{h \to 0} \frac{\arcsin (x + h) - \arcsin (x)}{h}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{h \to 0} \arcsin (x + h) - \arcsin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} \arcsin (x + h) - lim_{h \to 0} \arcsin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $\arcsin (x)$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} \arcsin (x + h) - \arcsin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Найдем предел $\arcsin (x + h)$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{\arcsin (x + 0) - \arcsin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3.2

Добавим $x$ и $0$ .

$\frac{\arcsin (x) - \arcsin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.4

Вычтем $\arcsin (x)$ из $\arcsin (x)$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.3

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{h \to 0} \frac{\arcsin (x + h) - \arcsin (x)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\arcsin (x + h) - \arcsin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\arcsin (x + h) - \arcsin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $\arcsin (x + h) - \arcsin (x)$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [\arcsin (x + h)] + \frac{d}{d h} [- \arcsin (x)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\arcsin (x + h)] + \frac{d}{d h} [- \arcsin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d h} [\arcsin (x + h)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ имеет вид $f' (g (h)) g' (h)$ , где $f (h) = \arcsin (h)$ и $g (h) = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \arcsin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.1.2

Производная $\arcsin (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \arcsin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \arcsin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.2

По правилу суммы производная $x + h$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}} (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- \arcsin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.3

Поскольку $x$ является константой относительно $h$ , производная $x$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}} (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- \arcsin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- \arcsin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.5

Добавим $0$ и $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- \arcsin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.6

Умножим $\frac{1}{\sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}}$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}} + \frac{d}{d h} [- \arcsin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $- \arcsin (x)$ является константой относительно $h$ , производная $- \arcsin (x)$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.5

Добавим $\frac{1}{\sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}}$ и $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}}}{1}$

Этап 1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}} \cdot 1$

Этап 1.5

Умножим $\frac{1}{\sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}}$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} \sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}}$

Этап 2.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{1}{lim_{h \to 0} \sqrt{1 - {(x + h)}^{2}}}$

Этап 2.3

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} 1 - {(x + h)}^{2}}}$

Этап 2.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} 1 - lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2}}}$

Этап 2.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2}}}$

Этап 2.6

Вынесем степень $2$ в выражении ${(x + h)}^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(lim_{h \to 0} x + h)}^{2}}}$

Этап 2.7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}}$

Этап 2.8

Найдем предел $x$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}}$

Этап 3

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(x + 0)}^{2}}}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1^{2} - {(x + 0)}^{2}}}$

Этап 4.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = x + 0$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + x + 0) (1 - (x + 0))}}$

Этап 4.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Добавим $1 + x$ и $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - (x + 0))}}$

Этап 4.1.3.2

Добавим $x$ и $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ на $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Этап 4.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ на $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Этап 4.3.2

Возведем $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Этап 4.3.3

Возведем $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1}}$

Этап 4.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}}$

Этап 4.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}}$

Этап 4.3.6

Перепишем ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ в виде $(1 + x) (1 - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ в виде ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{1}}$

Этап 4.3.6.5

Упростим.

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$