Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} - 5}{2^{x} + 7}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2^{x} - 5}{lim_{x \to \infty} 2^{x} + 7}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2^{x} - lim_{x \to \infty} 5}{lim_{x \to \infty} 2^{x} + 7}$

Этап 1.1.2.2

Поскольку показатель степени $x$ стремится к $\infty$ , величина $2^{x}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty - lim_{x \to \infty} 5}{lim_{x \to \infty} 2^{x} + 7}$

Этап 1.1.2.3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{\infty - 1 \cdot 5}{lim_{x \to \infty} 2^{x} + 7}$

Этап 1.1.2.3.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.2.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{\infty - 5}{lim_{x \to \infty} 2^{x} + 7}$

Этап 1.1.2.3.2.2

Разность или сумма бесконечности и числа равна бесконечности.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2^{x} + 7}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2^{x} + lim_{x \to \infty} 7}$

Этап 1.1.3.2

Поскольку показатель степени $x$ стремится к $\infty$ , величина $2^{x}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} 7}$

Этап 1.1.3.3

Найдем предел $7$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty + 7}$

Этап 1.1.3.4

Разность или сумма бесконечности и числа равна бесконечности.

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 1.1.3.5

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 1.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} - 5}{2^{x} + 7} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x} - 5]}{\frac{d}{d x} [2^{x} + 7]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x} - 5]}{\frac{d}{d x} [2^{x} + 7]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $2^{x} - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [2^{x} + 7]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [2^{x} + 7]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2) + 0}{\frac{d}{d x} [2^{x} + 7]}$

Этап 1.3.5

Добавим $2^{x} \ln (2)$ и $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{\frac{d}{d x} [2^{x} + 7]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $2^{x} + 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{\frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [7]}$

Этап 1.3.7

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{2^{x} \ln (2) + \frac{d}{d x} [7]}$

Этап 1.3.8

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{2^{x} \ln (2) + 0}$

Этап 1.3.9

Добавим $2^{x} \ln (2)$ и $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{2^{x} \ln (2)}$

Этап 1.4

Сократим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель $2^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{2^{x} \ln (2)}$

Этап 1.4.1.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2)}{\ln (2)}$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель $\ln (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2)}{\ln (2)}$

Этап 1.4.2.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} 1$

Этап 2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$1$