Математический анализ Примеры

$y = 2 \sin (x) \cos (x)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 \sin (x) \cos (x))$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \sin (x) \cos (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = \cos (x)$ .

$2 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 3.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$2 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 3.4

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$2 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 3.5

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$2 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 3.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 3.7

Добавим $1$ и $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 3.8

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Этап 3.9

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

Этап 3.10

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Этап 3.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

Этап 3.12

Добавим $1$ и $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Этап 3.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (- \sin^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x)$

Этап 3.13.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$