Математический анализ Примеры

$\frac{\sin (x) + \cos (x)}{\sin (x) - \cos (x)}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ и $g (x) = \sin (x) - \cos (x)$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)] - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Этап 2

По правилу суммы производная $\sin (x) + \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Этап 3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Этап 4

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Этап 5

По правилу суммы производная $\sin (x) - \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Этап 6

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Этап 7

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \cos (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Этап 8

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - - \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Этап 9

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + 1 \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Этап 9.2

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Этап 10.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Развернем $(\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sin (x) (\cos (x) - \sin (x)) - \cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Этап 10.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Этап 10.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos (x) \cos (x) - \cos (x) (- \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Этап 10.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\sin (x) \cos (x) - \sin (x) \sin (x) - \cos (x) \cos (x) - \cos (x) (- \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Этап 10.2.1.2.1.2

Умножим $- \sin (x) \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.2.1.2.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) - \cos (x) \cos (x) - \cos (x) (- \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Этап 10.2.1.2.1.2.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - \cos (x) \cos (x) - \cos (x) (- \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Этап 10.2.1.2.1.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sin (x) \cos (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} - \cos (x) \cos (x) - \cos (x) (- \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Этап 10.2.1.2.1.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) - \cos (x) \cos (x) - \cos (x) (- \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Этап 10.2.1.2.1.3

Умножим $- \cos (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.2.1.3.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x)) - \cos (x) (- \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Этап 10.2.1.2.1.3.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) - \cos (x) (- \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Этап 10.2.1.2.1.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) - {\cos (x)}^{1 + 1} - \cos (x) (- \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Этап 10.2.1.2.1.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) - \cos (x) (- \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Этап 10.2.1.2.1.4

Умножим $- \cos (x) (- \sin (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.2.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) + 1 \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Этап 10.2.1.2.1.4.2

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Этап 10.2.1.2.2

Изменим порядок множителей в $\sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Этап 10.2.1.2.3

Добавим $\cos (x) \sin (x)$ и $\cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{2 \cos (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Этап 10.2.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sin^{2} (x)$ .

$\frac{2 \cos (x) \sin (x) - (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Этап 10.2.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- \cos^{2} (x)$ .

$\frac{2 \cos (x) \sin (x) - (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Этап 10.2.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ .

$\frac{2 \cos (x) \sin (x) - (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Этап 10.2.1.6

Применим формулу Пифагора.

$\frac{2 \cos (x) \sin (x) - 1 \cdot 1 + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Этап 10.2.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.7.1

Изменим порядок $2 \cos (x)$ и $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) (2 \cos (x)) - 1 \cdot 1 + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Этап 10.2.1.7.2

Изменим порядок $\sin (x)$ и $2$ .

$\frac{2 \cdot \sin (x) \cos (x) - 1 \cdot 1 + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Этап 10.2.1.7.3

Применим формулу двойного угла для синуса.

$\frac{\sin (2 x) - 1 \cdot 1 + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Этап 10.2.1.7.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\sin (2 x) - 1 + (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Этап 10.2.1.8

Развернем $(- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sin (2 x) - 1 - \sin (x) (\cos (x) + \sin (x)) - \cos (x) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Этап 10.2.1.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sin (2 x) - 1 - \sin (x) \cos (x) - \sin (x) \sin (x) - \cos (x) (\cos (x) + \sin (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Этап 10.2.1.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sin (2 x) - 1 - \sin (x) \cos (x) - \sin (x) \sin (x) - \cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Этап 10.2.1.9

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.9.1.1

Умножим $- \sin (x) \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.9.1.1.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin (2 x) - 1 - \sin (x) \cos (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) - \cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Этап 10.2.1.9.1.1.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin (2 x) - 1 - \sin (x) \cos (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - \cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Этап 10.2.1.9.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sin (2 x) - 1 - \sin (x) \cos (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} - \cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Этап 10.2.1.9.1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sin (2 x) - 1 - \sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) - \cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Этап 10.2.1.9.1.2

Умножим $- \cos (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.9.1.2.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin (2 x) - 1 - \sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x)) - \cos (x) \sin (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Этап 10.2.1.9.1.2.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin (2 x) - 1 - \sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) - \cos (x) \sin (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Этап 10.2.1.9.1.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sin (2 x) - 1 - \sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) - {\cos (x)}^{1 + 1} - \cos (x) \sin (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Этап 10.2.1.9.1.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sin (2 x) - 1 - \sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) - \cos (x) \sin (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Этап 10.2.1.9.2

Изменим порядок множителей в $- \sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\sin (2 x) - 1 - \cos (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) - \cos (x) \sin (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Этап 10.2.1.9.3

Вычтем $\cos (x) \sin (x)$ из $- \cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{\sin (2 x) - 1 - 2 \cos (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Этап 10.2.1.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (2 x) - 1 - 2 \cos (x) \sin (x) - (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Этап 10.2.1.11

Вынесем множитель $- 1$ из $- \cos^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (2 x) - 1 - 2 \cos (x) \sin (x) - (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Этап 10.2.1.12

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ .

$\frac{\sin (2 x) - 1 - 2 \cos (x) \sin (x) - (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Этап 10.2.1.13

Применим формулу Пифагора.

$\frac{\sin (2 x) - 1 - 2 \cos (x) \sin (x) - 1 \cdot 1}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Этап 10.2.1.14

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\sin (2 x) - 1 - 2 \cos (x) \sin (x) - 1}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Этап 10.2.2

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$\frac{\sin (2 x) - 2 \cos (x) \sin (x) - 2}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Этап 10.3

Изменим порядок членов.

$\frac{- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 + \sin (2 x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Этап 10.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 \cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{- (2 \cos (x) \sin (x)) - 2 + \sin (2 x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Этап 10.5

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$\frac{- (2 \cos (x) \sin (x)) - 1 (2) + \sin (2 x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Этап 10.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 \cos (x) \sin (x)) - 1 (2)$ .

$\frac{- (2 \cos (x) \sin (x) + 2) + \sin (2 x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Этап 10.7

Вынесем множитель $- 1$ из $\sin (2 x)$ .

$\frac{- (2 \cos (x) \sin (x) + 2) - 1 (- \sin (2 x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Этап 10.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 \cos (x) \sin (x) + 2) - 1 (- \sin (2 x))$ .

$\frac{- (2 \cos (x) \sin (x) + 2 - \sin (2 x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Этап 10.9

Перепишем $- (2 \cos (x) \sin (x) + 2 - \sin (2 x))$ в виде $- 1 (2 \cos (x) \sin (x) + 2 - \sin (2 x))$ .

$\frac{- 1 (2 \cos (x) \sin (x) + 2 - \sin (2 x))}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$

Этап 10.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 \cos (x) \sin (x) + 2 - \sin (2 x)}{{(\sin (x) - \cos (x))}^{2}}$