Математический анализ Примеры

$y'''' + 2 y = 0$ , $y = 3 e^{- 2 x}$

Этап 1

Найдем $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3 e^{- 2 x})$

Этап 1.2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 1.3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 e^{- 2 x}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 2 x$ .

$3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Этап 1.3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$3 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Этап 1.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 2 x$ .

$3 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Этап 1.3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.3.2

Умножим $- 2$ на $3$ .

$- 6 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 6 e^{- 2 x} \cdot 1$

Этап 1.3.3.4

Умножим $- 6$ на $1$ .

$- 6 e^{- 2 x}$

Этап 1.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - 6 e^{- 2 x}$

Этап 2

Найдем $y''$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим производную.

$y'' = \frac{d}{d x} [- 6 e^{- 2 x}]$

Этап 2.2

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 e^{- 2 x}$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$y'' = - 6 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Этап 2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 2 x$ .

$y'' = - 6 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Этап 2.3.2

$y'' = - 6 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 2 x$ .

$y'' = - 6 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Этап 2.4

Избавимся от скобок.

$y'' = - 6 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 2.5

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = - 6 e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.6

Умножим $- 2$ на $- 6$ .

$y'' = 12 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y'' = 12 e^{- 2 x} \cdot 1$

Этап 2.8

Умножим $12$ на $1$ .

$y'' = 12 e^{- 2 x}$

Этап 3

Найдем $y'''$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим производную.

$y''' = \frac{d}{d x} [12 e^{- 2 x}]$

Этап 3.2

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 e^{- 2 x}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$y''' = 12 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Этап 3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 2 x$ .

$y''' = 12 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Этап 3.3.2

$y''' = 12 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 2 x$ .

$y''' = 12 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Этап 3.4

Избавимся от скобок.

$y''' = 12 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 3.5

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y''' = 12 e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.6

Умножим $- 2$ на $12$ .

$y''' = - 24 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y''' = - 24 e^{- 2 x} \cdot 1$

Этап 3.8

Умножим $- 24$ на $1$ .

$y''' = - 24 e^{- 2 x}$

Этап 4

Найдем $y''''$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим производную.

$y'''' = \frac{d}{d x} [- 24 e^{- 2 x}]$

Этап 4.2

Поскольку $- 24$ является константой относительно $x$ , производная $- 24 e^{- 2 x}$ по $x$ равна $- 24 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$y'''' = - 24 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Этап 4.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 2 x$ .

$y'''' = - 24 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Этап 4.3.2

$y'''' = - 24 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Этап 4.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 2 x$ .

$y'''' = - 24 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Этап 4.4

Избавимся от скобок.

$y'''' = - 24 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 4.5

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'''' = - 24 e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.6

Умножим $- 2$ на $- 24$ .

$y'''' = 48 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y'''' = 48 e^{- 2 x} \cdot 1$

Этап 4.8

Умножим $48$ на $1$ .

$y'''' = 48 e^{- 2 x}$

Этап 5

Подставим в заданное дифференциальное уравнение.

$48 e^{- 2 x} + 2 (3 e^{- 2 x}) = 0$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $3$ на $2$ .

$48 e^{- 2 x} + 6 e^{- 2 x} = 0$

Этап 6.2

Добавим $48 e^{- 2 x}$ и $6 e^{- 2 x}$ .

$54 e^{- 2 x} = 0$

Этап 7

Данное решение не удовлетворяет заданному дифференциальному уравнению.

$y = 3 e^{- 2 x}$ не является решением уравнения $y'''' + 2 y = 0$