Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{x \ln (x) \ln (\ln (x))} d x$

Этап 1

Пусть $u_{1} = \ln (x)$ . Тогда $d u_{1} = \frac{1}{x} d x$ , следовательно $x d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{1} = \ln (x)$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 1.1.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \ln (u_{1})} d u_{1}$

Этап 2

Пусть $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Тогда $d u_{2} = \frac{1}{u_{1}} d u_{1}$ , следовательно $u_{1} d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $\ln (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})]$

Этап 2.1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}}$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 3

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C$

Этап 4

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\ln (u_{1})$ .

$\ln (| \ln (u_{1}) |) + C$

Этап 4.2

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\ln (x)$ .

$\ln (| \ln (\ln (x)) |) + C$