Математический анализ Примеры

$\int_{- \infty}^{0} e^{2 x} d x$

Этап 1

Запишем интеграл в виде предела, когда $t$ стремится к $- \infty$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} e^{2 x} d x$

Этап 2

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 2.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 t$

Этап 2.3

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 0$

Этап 2.4

Умножим $2$ на $0$ .

$u_{upper} = 0$

Этап 2.5

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 2 t$

$u_{upper} = 0$

Этап 2.6

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$lim_{t \to - \infty} \int_{2 t}^{0} e^{u} \frac{1}{2} d u$

Этап 3

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{2 t}^{0} \frac{e^{u}}{2} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$lim_{t \to - \infty} \frac{1}{2} \int_{2 t}^{0} e^{u} d u$

Этап 5

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{1}{2} e^{u}]_{2 t}^{0}$

Этап 6

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{u}]_{2 t}^{0}$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{e^{u}]_{2 t}^{0}}{2}$

Этап 7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $e^{u}$ в $0$ и в $2 t$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{(e^{0}) - e^{2 t}}{2}$

Этап 7.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{1 - e^{2 t}}{2}$

Этап 8

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to - \infty} 1 - e^{2 t}$

Этап 8.1.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $- \infty$ .

$\frac{1}{2} (lim_{t \to - \infty} 1 - lim_{t \to - \infty} e^{2 t})$

Этап 8.1.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $t$ к $- \infty$ .

$\frac{1}{2} (1 - lim_{t \to - \infty} e^{2 t})$

Этап 8.2

Поскольку показатель степени $2 t$ стремится к $- \infty$ , величина $e^{2 t}$ стремится к $0$ .

$\frac{1}{2} (1 - 0)$

Этап 8.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Вычтем $0$ из $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Этап 8.3.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$0.5$