Математический анализ Примеры

$\int (- \frac{4}{\sqrt{3 - 3 x^{2}}}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int - \frac{4}{\sqrt{3 - 3 x^{2}}} d x$

Этап 2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{4}{\sqrt{3 - 3 x^{2}}} d x$

Этап 3

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$- (4 \int \frac{1}{\sqrt{3 - 3 x^{2}}} d x)$

Этап 4

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{3 - 3 x^{2}}} d x$

Этап 5

Пусть $x = \sin (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = \cos (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $\cos (t)$ положительно.

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - 3 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Этап 6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим $\sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - 3 \sin^{2} (t)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Этап 6.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Этап 6.1.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{3^{\frac{2}{2}} - 3 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Этап 6.1.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{3^{\frac{2}{2}} - 3 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Этап 6.1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{3^{1} - 3 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Этап 6.1.1.5

Найдем экспоненту.

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{3 - 3 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Этап 6.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{3 (1) - 3 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Этап 6.1.3

Вынесем множитель $3$ из $- 3 \sin^{2} (t)$ .

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{3 (1) + 3 (- \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

Этап 6.1.4

Вынесем множитель $3$ из $3 (1) + 3 (- \sin^{2} (t))$ .

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{3 (1 - \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

Этап 6.1.5

Применим формулу Пифагора.

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{3 \cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Этап 6.1.6

Изменим порядок $3$ и $\cos^{2} (t)$ .

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{\cos^{2} (t) \cdot 3}} \cos (t) d t$

Этап 6.1.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$- 4 \int \frac{1}{\cos (t) \sqrt{3}} \cos (t) d t$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $\cos (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $\cos (t)$ из $\cos (t) \sqrt{3}$ .

$- 4 \int \frac{1}{\cos (t) (\sqrt{3})} \cos (t) d t$

Этап 6.2.2

Сократим общий множитель.

$- 4 \int \frac{1}{\cos (t) \sqrt{3}} \cos (t) d t$

Этап 6.2.3

Перепишем это выражение.

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{3}} d t$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- 4 (\frac{1}{\sqrt{3}} t + C)$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем $- 4 (\frac{1}{\sqrt{3}} t + C)$ в виде $- 4 (\frac{\sqrt{3}}{3} t) + C$ .

$- 4 (\frac{\sqrt{3}}{3} t) + C$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим $\frac{\sqrt{3}}{3}$ и $t$ .

$- 4 \frac{\sqrt{3} t}{3} + C$

Этап 8.2.2

Объединим $- 4$ и $\frac{\sqrt{3} t}{3}$ .

$\frac{- 4 (\sqrt{3} t)}{3} + C$

Этап 8.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4 \sqrt{3} t}{3} + C$

Этап 8.3

Заменим все вхождения $t$ на $\arcsin (x)$ .

$- \frac{4 \sqrt{3} \arcsin (x)}{3} + C$

Этап 8.4

Изменим порядок членов.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} \arcsin (x) + C$