Математический анализ Примеры

$\frac{2 d y}{3 d x} = {(x - 2)}^{2}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим $\frac{d y}{d x}$ на множители.

$\frac{2}{3} \frac{d y}{d x} = {(x - 2)}^{2}$

Этап 1.2

Перепишем уравнение.

$\frac{2}{3} d y = {(x - 2)}^{2} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{2}{3} d y = \int {(x - 2)}^{2} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{2}{3} y + C_{1} = \int {(x - 2)}^{2} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u = x - 2$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u = x - 2$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Дифференцируем $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Этап 2.3.1.1.2

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.3.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.3.1.1.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.3.1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{2}{3} y + C_{1} = \int u^{2} d u$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{2}{3} y + C_{1} = \frac{1}{3} u^{3} + C_{2}$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 2$ .

$\frac{2}{3} y + C_{1} = \frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{2}{3} y = \frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} y) = \frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $\frac{3}{2} (\frac{2}{3} y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $y$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 y}{3} = \frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 y}{3} = \frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} (2 y) = \frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$

Этап 3.2.1.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y$ .

$\frac{1}{2} (2 (y)) = \frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$

Этап 3.2.1.1.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} (2 y) = \frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$

Этап 3.2.1.1.3.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $\frac{3}{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и ${(x - 2)}^{3}$ .

$y = \frac{3}{2} (\frac{{(x - 2)}^{3}}{3} + K)$

Этап 3.2.2.1.2

Чтобы записать $K$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{3}{2} (\frac{{(x - 2)}^{3}}{3} + K \cdot \frac{3}{3})$

Этап 3.2.2.1.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Объединим $K$ и $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{3}{2} (\frac{{(x - 2)}^{3}}{3} + \frac{K \cdot 3}{3})$

Этап 3.2.2.1.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 2)}^{3} + K \cdot 3}{3}$

Этап 3.2.2.1.3.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.3.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 2)}^{3} + K \cdot 3}{3}$

Этап 3.2.2.1.3.3.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{1}{2} ({(x - 2)}^{3} + K \cdot 3)$

Этап 3.2.2.1.4

Перенесем $3$ влево от $K$ .

$y = \frac{1}{2} ({(x - 2)}^{3} + 3 K)$

Этап 3.2.2.1.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{1}{2} {(x - 2)}^{3} + \frac{1}{2} (3 K)$

Этап 3.2.2.1.5.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x - 2)}^{3}$ .

$y = \frac{{(x - 2)}^{3}}{2} + \frac{1}{2} (3 K)$

Этап 3.2.2.1.6

Умножим $\frac{1}{2} (3 K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.6.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{{(x - 2)}^{3}}{2} + \frac{3}{2} K$

Этап 3.2.2.1.6.2

Объединим $\frac{3}{2}$ и $K$ .

$y = \frac{{(x - 2)}^{3}}{2} + \frac{3 K}{2}$

Этап 3.2.2.1.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{{(x - 2)}^{3} + 3 K}{2}$

Этап 3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$y = \frac{x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 2 + 3 x {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3} + 3 K}{2}$

Этап 3.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим $- 2$ на $3$ .

$y = \frac{x^{3} - 6 x^{2} + 3 x {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3} + 3 K}{2}$

Этап 3.3.2.2

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$y = \frac{x^{3} - 6 x^{2} + 3 x \cdot 4 + {(- 2)}^{3} + 3 K}{2}$

Этап 3.3.2.3

Умножим $4$ на $3$ .

$y = \frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + {(- 2)}^{3} + 3 K}{2}$

Этап 3.3.2.4

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$y = \frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8 + 3 K}{2}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + K}{2}$