Математический анализ Примеры

$y = \ln (e^{- x} + x e^{- x})$

Этап 1

Пусть $y = f (x)$ , возьмем натуральный логарифм обеих частей $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (\ln (e^{- x} + x e^{- x}))$

Этап 2

Продифференцируем выражение, используя цепное правило, учитывая, что $y$ — функция от $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем левую часть $\ln (y)$ , используя цепное правило.

$\frac{y'}{y} = \ln (\ln (e^{- x} + x e^{- x}))$

Этап 2.2

Продифференцируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Дифференцируем $\ln (\ln (e^{- x} + x e^{- x}))$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\ln (\ln (e^{- x} + x e^{- x}))]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \ln (e^{- x} + x e^{- x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\ln (e^{- x} + x e^{- x})$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (e^{- x} + x e^{- x})]$

Этап 2.2.2.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (e^{- x} + x e^{- x})]$

Этап 2.2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\ln (e^{- x} + x e^{- x})$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\ln (e^{- x} + x e^{- x})} \frac{d}{d x} [\ln (e^{- x} + x e^{- x})]$

Этап 2.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $e^{- x} + x e^{- x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\ln (e^{- x} + x e^{- x})} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [e^{- x} + x e^{- x}])$

Этап 2.2.3.2

Производная $\ln (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\ln (e^{- x} + x e^{- x})} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x} + x e^{- x}])$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $e^{- x} + x e^{- x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\ln (e^{- x} + x e^{- x})} (\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}} \frac{d}{d x} [e^{- x} + x e^{- x}])$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило суммы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Умножим $\frac{1}{e^{- x} + x e^{- x}}$ на $\frac{1}{\ln (e^{- x} + x e^{- x})}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} \frac{d}{d x} [e^{- x} + x e^{- x}]$

Этап 2.2.4.2

По правилу суммы производная $e^{- x} + x e^{- x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

Этап 2.2.5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $- x$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

Этап 2.2.5.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ имеет вид $a^{u_{3}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

Этап 2.2.5.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $- x$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

Этап 2.2.6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

Этап 2.2.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

Этап 2.2.6.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

Этап 2.2.6.3.2

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- 1 \cdot e^{- x} + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

Этап 2.2.6.3.3

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

Этап 2.2.7

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = e^{- x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.2.8

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{4}$ как $- x$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x (\frac{d}{d u_{4}} [e^{u_{4}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.2.8.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{4}} [a^{u_{4}}]$ имеет вид $a^{u_{4}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x (e^{u_{4}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.2.8.3

Заменим все вхождения $u_{4}$ на $- x$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.2.9

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.2.9.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.2.9.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.2.9.3.2

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.2.9.3.3

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.2.9.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1)$

Этап 2.2.9.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.5.1

Умножим $e^{- x}$ на $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x} + x (- e^{- x}) + e^{- x})$

Этап 2.2.9.5.2

Добавим $- e^{- x}$ и $e^{- x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (x (- e^{- x}) + 0)$

Этап 2.2.9.5.3

Добавим $x (- e^{- x})$ и $0$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (x (- e^{- x}))$

Этап 2.2.9.5.4

Объединим $x$ и $\frac{1}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})} (- e^{- x})$

Этап 2.2.9.5.5

Объединим $\frac{x}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})}$ и $e^{- x}$ .

$\frac{y'}{y} = - \frac{x e^{- x}}{(e^{- x} + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})}$

Этап 2.2.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.10.1

Вынесем множитель $e^{- x}$ из $e^{- x} + x e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.10.1.1

Умножим на $1$ .

$\frac{y'}{y} = - \frac{x e^{- x}}{(e^{- x} \cdot 1 + x e^{- x}) \ln (e^{- x} + x e^{- x})}$

Этап 2.2.10.1.2

Вынесем множитель $e^{- x}$ из $x e^{- x}$ .

$\frac{y'}{y} = - \frac{x e^{- x}}{(e^{- x} \cdot 1 + e^{- x} x) \ln (e^{- x} + x e^{- x})}$

Этап 2.2.10.1.3

Вынесем множитель $e^{- x}$ из $e^{- x} \cdot 1 + e^{- x} x$ .

$\frac{y'}{y} = - \frac{x e^{- x}}{e^{- x} (1 + x) \ln (e^{- x} + x e^{- x})}$

Этап 2.2.10.2

Сократим общий множитель $e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.10.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y'}{y} = - \frac{x e^{- x}}{e^{- x} (1 + x) \ln (e^{- x} + x e^{- x})}$

Этап 2.2.10.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y'}{y} = - \frac{x}{(1 + x) \ln (e^{- x} + x e^{- x})}$

Этап 2.2.10.3

Изменим порядок множителей в $- \frac{x}{(1 + x) \ln (e^{- x} + x e^{- x})}$ .

$\frac{y'}{y} = - \frac{x}{\ln (e^{- x} + x e^{- x}) (1 + x)}$

Этап 3

Изолируем $y'$ и заменим исходную функцию на $y$ в правой части.

$y' = - \frac{x}{\ln (e^{- x} + x e^{- x}) (1 + x)} \ln (e^{- x} + x e^{- x})$

Этап 4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель $\ln (e^{- x} + x e^{- x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x}{\ln (e^{- x} + x e^{- x}) (1 + x)}$ в числитель.

$y' = \frac{- x}{\ln (e^{- x} + x e^{- x}) (1 + x)} \ln (e^{- x} + x e^{- x})$

Этап 4.1.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{- x}{\ln (e^{- x} + x e^{- x}) (1 + x)} \ln (e^{- x} + x e^{- x})$

Этап 4.1.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- x}{1 + x}$

Этап 4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{x}{1 + x}$