Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 36}} d x$

Этап 1

Пусть $x = 6 \tan (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = 6 \sec^{2} (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $6 \sec^{2} (t)$ положительно.

$\int \frac{1}{6 \tan (t) \sqrt{{(6 \tan (t))}^{2} + 36}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\sqrt{{(6 \tan (t))}^{2} + 36}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Применим правило умножения к $6 \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{6 \tan (t) \sqrt{6^{2} \tan^{2} (t) + 36}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 2.1.1.2

Возведем $6$ в степень $2$ .

$\int \frac{1}{6 \tan (t) \sqrt{36 \tan^{2} (t) + 36}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $36$ из $36 \tan^{2} (t) + 36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $36$ из $36 \tan^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{6 \tan (t) \sqrt{36 (\tan^{2} (t)) + 36}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 2.1.2.2

Вынесем множитель $36$ из $36$ .

$\int \frac{1}{6 \tan (t) \sqrt{36 (\tan^{2} (t)) + 36 (1)}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 2.1.2.3

Вынесем множитель $36$ из $36 (\tan^{2} (t)) + 36 (1)$ .

$\int \frac{1}{6 \tan (t) \sqrt{36 (\tan^{2} (t) + 1)}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 2.1.3

Применим формулу Пифагора.

$\int \frac{1}{6 \tan (t) \sqrt{36 \sec^{2} (t)}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 2.1.4

Перепишем $36 \sec^{2} (t)$ в виде ${(6 \sec (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{6 \tan (t) \sqrt{{(6 \sec (t))}^{2}}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 2.1.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int \frac{1}{6 \tan (t) (6 \sec (t))} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим $6$ на $6$ .

$\int \frac{1}{36 \tan (t) \sec (t)} (6 \sec^{2} (t)) d t$

Этап 2.2.2

Объединим $6$ и $\frac{1}{36 \tan (t) \sec (t)}$ .

$\int \frac{6}{36 \tan (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Этап 2.2.3

Объединим $\frac{6}{36 \tan (t) \sec (t)}$ и $\sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{6 \sec^{2} (t)}{36 \tan (t) \sec (t)} d t$

Этап 2.2.4

Сократим общий множитель $6$ и $36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Вынесем множитель $6$ из $6 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{6 (\sec^{2} (t))}{36 \tan (t) \sec (t)} d t$

Этап 2.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Вынесем множитель $6$ из $36 \tan (t) \sec (t)$ .

$\int \frac{6 (\sec^{2} (t))}{6 (6 \tan (t) \sec (t))} d t$

Этап 2.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\int \frac{6 \sec^{2} (t)}{6 (6 \tan (t) \sec (t))} d t$

Этап 2.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\int \frac{\sec^{2} (t)}{6 \tan (t) \sec (t)} d t$

Этап 2.2.5

Сократим общий множитель $\sec^{2} (t)$ и $\sec (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Вынесем множитель $\sec (t)$ из $\sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{6 \tan (t) \sec (t)} d t$

Этап 2.2.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.1

Вынесем множитель $\sec (t)$ из $6 \tan (t) \sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) (6 \tan (t))} d t$

Этап 2.2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) (6 \tan (t))} d t$

Этап 2.2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\int \frac{\sec (t)}{6 \tan (t)} d t$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{6}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{1}{6}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{6} \int \frac{\sec (t)}{\tan (t)} d t$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Выразим $\tan (t)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{6} \int \frac{\sec (t)}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

Этап 4.2

Выразим $\sec (t)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{6} \int \frac{\frac{1}{\cos (t)}}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

Этап 4.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ .

$\frac{1}{6} \int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

Этап 4.4

Сократим общий множитель $\cos (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{6} \int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

Этап 4.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{6} \int \frac{1}{\sin (t)} d t$

Этап 4.5

Переведем $\frac{1}{\sin (t)}$ в $\csc (t)$ .

$\frac{1}{6} \int \csc (t) d t$

Этап 5

Интеграл $\csc (t)$ по $t$ имеет вид $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$\frac{1}{6} (\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C)$

Этап 6

Упростим.

$\frac{1}{6} \ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

Этап 7

Заменим все вхождения $t$ на $\arctan (\frac{x}{6})$ .

$\frac{1}{6} \ln (| \csc (\arctan (\frac{x}{6})) - \cot (\arctan (\frac{x}{6})) |) + C$

Этап 8

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{6} \ln (| \csc (\arctan (\frac{1}{6} x)) - \cot (\arctan (\frac{1}{6} x)) |) + C$