Математический анализ Примеры

$lim_{r \to 4} (\frac{2}{r} + \frac{1}{2}) (r^{2} - \frac{4}{r})$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $r$ к $4$ .

$lim_{r \to 4} \frac{2}{r} + \frac{1}{2} \cdot lim_{r \to 4} r^{2} - \frac{4}{r}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $r$ к $4$ .

$(lim_{r \to 4} \frac{2}{r} + lim_{r \to 4} \frac{1}{2}) \cdot lim_{r \to 4} r^{2} - \frac{4}{r}$

Этап 3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $r$ .

$(2 lim_{r \to 4} \frac{1}{r} + lim_{r \to 4} \frac{1}{2}) \cdot lim_{r \to 4} r^{2} - \frac{4}{r}$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $r$ к $4$ .

$(2 \frac{lim_{r \to 4} 1}{lim_{r \to 4} r} + lim_{r \to 4} \frac{1}{2}) \cdot lim_{r \to 4} r^{2} - \frac{4}{r}$

Этап 5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $r$ к $4$ .

$(2 \frac{1}{lim_{r \to 4} r} + lim_{r \to 4} \frac{1}{2}) \cdot lim_{r \to 4} r^{2} - \frac{4}{r}$

Этап 6

Найдем предел $\frac{1}{2}$ , который является константой по мере приближения $r$ к $4$ .

$(2 \frac{1}{lim_{r \to 4} r} + \frac{1}{2}) \cdot lim_{r \to 4} r^{2} - \frac{4}{r}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $r$ к $4$ .

$(2 \frac{1}{lim_{r \to 4} r} + \frac{1}{2}) \cdot (lim_{r \to 4} r^{2} - lim_{r \to 4} \frac{4}{r})$

Этап 8

Вынесем степень $2$ в выражении $r^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$(2 \frac{1}{lim_{r \to 4} r} + \frac{1}{2}) \cdot ({(lim_{r \to 4} r)}^{2} - lim_{r \to 4} \frac{4}{r})$

Этап 9

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $r$ .

$(2 \frac{1}{lim_{r \to 4} r} + \frac{1}{2}) \cdot ({(lim_{r \to 4} r)}^{2} - 4 lim_{r \to 4} \frac{1}{r})$

Этап 10

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $r$ к $4$ .

$(2 \frac{1}{lim_{r \to 4} r} + \frac{1}{2}) \cdot ({(lim_{r \to 4} r)}^{2} - 4 \frac{lim_{r \to 4} 1}{lim_{r \to 4} r})$

Этап 11

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $r$ к $4$ .

$(2 \frac{1}{lim_{r \to 4} r} + \frac{1}{2}) \cdot ({(lim_{r \to 4} r)}^{2} - 4 \frac{1}{lim_{r \to 4} r})$

Этап 12

Найдем значения пределов, подставив значение $4$ для всех вхождений $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Найдем предел $r$ , подставив значение $4$ для $r$ .

$(2 (\frac{1}{4}) + \frac{1}{2}) \cdot ({(lim_{r \to 4} r)}^{2} - 4 \frac{1}{lim_{r \to 4} r})$

Этап 12.2

Найдем предел $r$ , подставив значение $4$ для $r$ .

$(2 (\frac{1}{4}) + \frac{1}{2}) \cdot (4^{2} - 4 \frac{1}{lim_{r \to 4} r})$

Этап 12.3

Найдем предел $r$ , подставив значение $4$ для $r$ .

$(2 (\frac{1}{4}) + \frac{1}{2}) \cdot (4^{2} - 4 (\frac{1}{4}))$

Этап 13

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$(2 \frac{1}{2 (2)} + \frac{1}{2}) \cdot (4^{2} - 4 (\frac{1}{4}))$

Этап 13.1.2

Сократим общий множитель.

$(2 \frac{1}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2}) \cdot (4^{2} - 4 (\frac{1}{4}))$

Этап 13.1.3

Перепишем это выражение.

$(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) \cdot (4^{2} - 4 (\frac{1}{4}))$

Этап 13.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + 1}{2} \cdot (4^{2} - 4 (\frac{1}{4}))$

Этап 13.3

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2}{2} \cdot (4^{2} - 4 (\frac{1}{4}))$

Этап 13.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2} \cdot (4^{2} - 4 (\frac{1}{4}))$

Этап 13.4.2

Перепишем это выражение.

$1 \cdot (4^{2} - 4 (\frac{1}{4}))$

Этап 13.5

Умножим $4^{2} - 4 (\frac{1}{4})$ на $1$ .

$4^{2} - 4 (\frac{1}{4})$

Этап 13.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.6.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$16 - 4 (\frac{1}{4})$

Этап 13.6.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.6.2.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$16 + 4 (- 1) \frac{1}{4}$

Этап 13.6.2.2

Сократим общий множитель.

$16 + 4 \cdot - 1 \frac{1}{4}$

Этап 13.6.2.3

Перепишем это выражение.

$16 - 1$

Этап 13.7

Вычтем $1$ из $16$ .

$15$