Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{3} (5 x^{2} - 4 x) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{0}^{3} 5 x^{2} - 4 x d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{3} 5 x^{2} d x + \int_{0}^{3} - 4 x d x$

Этап 3

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int_{0}^{3} x^{2} d x + \int_{0}^{3} - 4 x d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - 4 x d x$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - 4 x d x$

Этап 6

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) - 4 \int_{0}^{3} x d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{3})$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3})$

Этап 8.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $3$ и в $0$ .

$5 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3})$

Этап 8.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $3$ и в $0$ .

$5 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$5 (\frac{27}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.2

Сократим общий множитель $27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$5 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$5 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{0^{3}}{3}) - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$5 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$5 (\frac{9}{1} - \frac{0^{3}}{3}) - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.2.2.4

Разделим $9$ на $1$ .

$5 (9 - \frac{0^{3}}{3}) - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$5 (9 - \frac{0}{3}) - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.4

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.4.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$5 (9 - \frac{3 (0)}{3}) - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$5 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$5 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$5 (9 - \frac{0}{1}) - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.4.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$5 (9 - 0) - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$5 (9 + 0) - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.6

Добавим $9$ и $0$ .

$5 \cdot 9 - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.7

Умножим $5$ на $9$ .

$45 - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.8

Возведем $3$ в степень $2$ .

$45 - 4 (\frac{9}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.9

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$45 - 4 (\frac{9}{2} - \frac{0}{2})$

Этап 8.2.3.10

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.10.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$45 - 4 (\frac{9}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Этап 8.2.3.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.10.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$45 - 4 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 8.2.3.10.2.2

Сократим общий множитель.

$45 - 4 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 8.2.3.10.2.3

Перепишем это выражение.

$45 - 4 (\frac{9}{2} - \frac{0}{1})$

Этап 8.2.3.10.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$45 - 4 (\frac{9}{2} - 0)$

Этап 8.2.3.11

Умножим $- 1$ на $0$ .

$45 - 4 (\frac{9}{2} + 0)$

Этап 8.2.3.12

Добавим $\frac{9}{2}$ и $0$ .

$45 - 4 (\frac{9}{2})$

Этап 8.2.3.13

Объединим $- 4$ и $\frac{9}{2}$ .

$45 + \frac{- 4 \cdot 9}{2}$

Этап 8.2.3.14

Умножим $- 4$ на $9$ .

$45 + \frac{- 36}{2}$

Этап 8.2.3.15

Сократим общий множитель $- 36$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.15.1

Вынесем множитель $2$ из $- 36$ .

$45 + \frac{2 \cdot - 18}{2}$

Этап 8.2.3.15.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.15.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$45 + \frac{2 \cdot - 18}{2 (1)}$

Этап 8.2.3.15.2.2

Сократим общий множитель.

$45 + \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 1}$

Этап 8.2.3.15.2.3

Перепишем это выражение.

$45 + \frac{- 18}{1}$

Этап 8.2.3.15.2.4

Разделим $- 18$ на $1$ .

$45 - 18$

Этап 8.2.3.16

Вычтем $18$ из $45$ .

$27$

Этап 9