Математический анализ Примеры

$\int_{- 2}^{0} (x^{2} + x) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{- 2}^{0} x^{2} + x d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 2}^{0} x^{2} d x + \int_{- 2}^{0} x d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{0} + \int_{- 2}^{0} x d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{0} + \frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{0}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{0}$ и $\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{0}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{0}$

Этап 5.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Найдем значение $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}$ в $0$ и в $- 2$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - (\frac{1}{3} {(- 2)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 2)}^{2})$

Этап 5.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1}{3} {(- 2)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 2)}^{2})$

Этап 5.2.2.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $0$ .

$0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1}{3} {(- 2)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 2)}^{2})$

Этап 5.2.2.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + \frac{1}{2} \cdot 0 - (\frac{1}{3} {(- 2)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 2)}^{2})$

Этап 5.2.2.4

Умножим $\frac{1}{2}$ на $0$ .

$0 + 0 - (\frac{1}{3} {(- 2)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 2)}^{2})$

Этап 5.2.2.5

Добавим $0$ и $0$ .

$0 - (\frac{1}{3} {(- 2)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 2)}^{2})$

Этап 5.2.2.6

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$0 - (\frac{1}{3} \cdot - 8 + \frac{1}{2} {(- 2)}^{2})$

Этап 5.2.2.7

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 8$ .

$0 - (\frac{- 8}{3} + \frac{1}{2} {(- 2)}^{2})$

Этап 5.2.2.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$0 - (- \frac{8}{3} + \frac{1}{2} {(- 2)}^{2})$

Этап 5.2.2.9

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$0 - (- \frac{8}{3} + \frac{1}{2} \cdot 4)$

Этап 5.2.2.10

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$0 - (- \frac{8}{3} + \frac{4}{2})$

Этап 5.2.2.11

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.11.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$0 - (- \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 2}{2})$

Этап 5.2.2.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.11.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$0 - (- \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)})$

Этап 5.2.2.11.2.2

Сократим общий множитель.

$0 - (- \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1})$

Этап 5.2.2.11.2.3

Перепишем это выражение.

$0 - (- \frac{8}{3} + \frac{2}{1})$

Этап 5.2.2.11.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$0 - (- \frac{8}{3} + 2)$

Этап 5.2.2.12

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$0 - (- \frac{8}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3})$

Этап 5.2.2.13

Объединим $2$ и $\frac{3}{3}$ .

$0 - (- \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3})$

Этап 5.2.2.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$0 - \frac{- 8 + 2 \cdot 3}{3}$

Этап 5.2.2.15

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.15.1

Умножим $2$ на $3$ .

$0 - \frac{- 8 + 6}{3}$

Этап 5.2.2.15.2

Добавим $- 8$ и $6$ .

$0 - \frac{- 2}{3}$

Этап 5.2.2.16

Вынесем знак минуса перед дробью.

$0 - - \frac{2}{3}$

Этап 5.2.2.17

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$0 + 1 (\frac{2}{3})$

Этап 5.2.2.18

Умножим $\frac{2}{3}$ на $1$ .

$0 + \frac{2}{3}$

Этап 5.2.2.19

Добавим $0$ и $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2}{3}$

Десятичная форма:

$0.\overline{6}$

Этап 7