Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{2 x - 1} - \frac{x^{2}}{2 x + 1}$

Этап 1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $\frac{x^{2}}{2 x - 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1} - \frac{x^{2}}{2 x + 1}$

Этап 1.2

Чтобы записать $- \frac{x^{2}}{2 x + 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1} - \frac{x^{2}}{2 x + 1} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1}$

Этап 1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(2 x - 1) (2 x + 1)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $\frac{x^{2}}{2 x - 1}$ на $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (2 x + 1)}{(2 x - 1) (2 x + 1)} - \frac{x^{2}}{2 x + 1} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1}$

Этап 1.3.2

Умножим $\frac{x^{2}}{2 x + 1}$ на $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (2 x + 1)}{(2 x - 1) (2 x + 1)} - \frac{x^{2} (2 x - 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Этап 1.3.3

Изменим порядок множителей в $(2 x - 1) (2 x + 1)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (2 x + 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{x^{2} (2 x - 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Этап 1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (2 x + 1) - x^{2} (2 x - 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} (2 x + 1) - x^{2} (2 x - 1)}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 1 - x^{2} (2 x - 1)}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Этап 2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 1 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Этап 2.1.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Изменим порядок $x^{2}$ и $2$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 \cdot x^{2} x + x^{2} \cdot 1 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Этап 2.1.2.3.2

Изменим порядок $x^{2}$ и $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 \cdot x^{2} x + 1 \cdot x^{2} - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Этап 2.1.2.3.3

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 \cdot x^{2} x + 1 \cdot x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Этап 2.1.2.3.4

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 \cdot x^{2} x + 1 \cdot x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2} x - 1 \cdot - 1 x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Этап 2.1.2.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 (x^{2} x^{1}) + 1 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2} x - 1 \cdot - 1 x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Этап 2.1.2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{2 + 1} + 1 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2} x - 1 \cdot - 1 x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Этап 2.1.2.6

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{3} + 1 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2} x - 1 \cdot - 1 x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Этап 2.1.2.7

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{3} + x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2} x - 1 \cdot - 1 x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Этап 2.1.2.8

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x^{2} x - 1 \cdot - 1 x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Этап 2.1.2.9

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{3} + x^{2} - 2 (x^{2} x^{1}) - 1 \cdot - 1 x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Этап 2.1.2.10

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x^{2 + 1} - 1 \cdot - 1 x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Этап 2.1.2.11

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.11.1

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x^{3} - 1 \cdot - 1 x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Этап 2.1.2.11.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.11.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x^{3} + 1 x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Этап 2.1.2.11.2.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x^{3} + x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Этап 2.1.2.11.2.3

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{3} - 2 x^{3} + x^{2} + x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Этап 2.1.2.11.3

Вычтем $2 x^{3}$ из $2 x^{3}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 0 + x^{2} + x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Этап 2.1.2.11.4

Добавим $0$ и $x^{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Этап 2.1.2.11.5

Добавим $x^{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Этап 2.1.2.12

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Этап 2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2 x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)}$

Этап 2.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x - 1)}$

Этап 2.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1}$

Этап 2.1.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.4.1

Перенесем $x$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1}$

Этап 2.1.3.4.2

Перенесем $x$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1}$

Этап 2.1.3.4.3

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}$

Этап 2.1.3.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 (x^{1} x) + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}$

Этап 2.1.3.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}$

Этап 2.1.3.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}$

Этап 2.1.3.8

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.8.1

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}$

Этап 2.1.3.8.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.8.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} - 2 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}$

Этап 2.1.3.8.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.8.2.2.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} - 2 x + 2 x + 1 \cdot - 1}$

Этап 2.1.3.8.2.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} - 2 x + 2 x - 1}$

Этап 2.1.3.8.3

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} + 0 - 1}$

Этап 2.1.3.8.4

Вычтем $1$ из $0$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} - 1}$

Этап 2.1.3.9

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 2.1.3.10

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 2.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (2 x + 1) - x^{2} (2 x - 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} (2 x + 1) - x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} (2 x + 1) - x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} (2 x + 1) - x^{2} (2 x - 1)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2} (2 x + 1)] + \frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} (2 x + 1)] + \frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Этап 2.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{2} (2 x + 1)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = 2 x + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 1] + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Этап 2.3.3.2

По правилу суммы производная $2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Этап 2.3.3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Этап 2.3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Этап 2.3.3.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (2 \cdot 1 + 0) + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Этап 2.3.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (2 \cdot 1 + 0) + (2 x + 1) (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Этап 2.3.3.7

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (2 + 0) + (2 x + 1) (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Этап 2.3.3.8

Добавим $2$ и $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} \cdot 2 + (2 x + 1) (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Этап 2.3.3.9

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot x^{2} + (2 x + 1) (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Этап 2.3.3.10

Перенесем $2$ влево от $2 x + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x + 1) x + \frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Этап 2.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2} (2 x - 1)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2} (2 x - 1)]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x + 1) x - \frac{d}{d x} [x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Этап 2.3.4.2

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x + 1) x - (x^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 1] + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Этап 2.3.4.3

По правилу суммы производная $2 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x + 1) x - (x^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Этап 2.3.4.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x + 1) x - (x^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Этап 2.3.4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x + 1) x - (x^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Этап 2.3.4.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x + 1) x - (x^{2} (2 \cdot 1 + 0) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Этап 2.3.4.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x + 1) x - (x^{2} (2 \cdot 1 + 0) + (2 x - 1) (2 x))}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Этап 2.3.4.8

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x + 1) x - (x^{2} (2 + 0) + (2 x - 1) (2 x))}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Этап 2.3.4.9

Добавим $2$ и $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x + 1) x - (x^{2} \cdot 2 + (2 x - 1) (2 x))}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Этап 2.3.4.10

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x + 1) x - (2 \cdot x^{2} + (2 x - 1) (2 x))}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Этап 2.3.4.11

Перенесем $2$ влево от $2 x - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x + 1) x - (2 x^{2} + 2 (2 x - 1) x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + (2 (2 x) + 2 \cdot 1) x - (2 x^{2} + 2 (2 x - 1) x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Этап 2.3.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x) x + 2 \cdot 1 x - (2 x^{2} + 2 (2 x - 1) x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Этап 2.3.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x) x + 2 \cdot 1 x - (2 x^{2} + (2 (2 x) + 2 \cdot - 1) x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Этап 2.3.5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x) x + 2 \cdot 1 x - (2 x^{2} + 2 (2 x) x + 2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Этап 2.3.5.5

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x) x + 2 \cdot 1 x - (2 x^{2}) - (2 (2 x) x) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Этап 2.3.5.6

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.6.1

Умножим $2$ на $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 4 x \cdot x + 2 \cdot 1 x - (2 x^{2}) - (2 (2 x) x) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Этап 2.3.5.6.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 4 (x^{1} x) + 2 \cdot 1 x - (2 x^{2}) - (2 (2 x) x) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Этап 2.3.5.6.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 4 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 1 x - (2 x^{2}) - (2 (2 x) x) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Этап 2.3.5.6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 4 x^{1 + 1} + 2 \cdot 1 x - (2 x^{2}) - (2 (2 x) x) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Этап 2.3.5.6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 4 x^{2} + 2 \cdot 1 x - (2 x^{2}) - (2 (2 x) x) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Этап 2.3.5.6.6

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 4 x^{2} + 2 x - (2 x^{2}) - (2 (2 x) x) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Этап 2.3.5.6.7

Добавим $2 x^{2}$ и $4 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2} + 2 x - (2 x^{2}) - (2 (2 x) x) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Этап 2.3.5.6.8

Умножим $2$ на $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - (2 (2 x) x) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Этап 2.3.5.6.9

Умножим $2$ на $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - (4 x \cdot x) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Этап 2.3.5.6.10

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - (4 (x^{1} x)) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Этап 2.3.5.6.11

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - (4 (x^{1} x^{1})) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Этап 2.3.5.6.12

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - (4 x^{1 + 1}) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Этап 2.3.5.6.13

Добавим $1$ и $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - (4 x^{2}) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Этап 2.3.5.6.14

Умножим $4$ на $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - 4 x^{2} - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Этап 2.3.5.6.15

Умножим $2$ на $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - 4 x^{2} - (- 2 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Этап 2.3.5.6.16

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - 4 x^{2} + 2 x}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Этап 2.3.5.6.17

Вычтем $4 x^{2}$ из $- 2 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2} + 2 x - 6 x^{2} + 2 x}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Этап 2.3.5.6.18

Вычтем $6 x^{2}$ из $6 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 0 + 2 x}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Этап 2.3.5.6.19

Добавим $2 x$ и $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 2 x}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Этап 2.3.5.6.20

Добавим $2 x$ и $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

Этап 2.3.6

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{(2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1] + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}$

Этап 2.3.7

По правилу суммы производная $2 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{(2 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}$

Этап 2.3.8

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{(2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}$

Этап 2.3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{(2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}$

Этап 2.3.10

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{(2 x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}$

Этап 2.3.11

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{(2 x + 1) (2 + 0) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}$

Этап 2.3.12

Добавим $2$ и $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{(2 x + 1) \cdot 2 + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}$

Этап 2.3.13

Перенесем $2$ влево от $2 x + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{2 \cdot (2 x + 1) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}$

Этап 2.3.14

По правилу суммы производная $2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])}$

Этап 2.3.15

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}$

Этап 2.3.16

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}$

Этап 2.3.17

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 + \frac{d}{d x} [1])}$

Этап 2.3.18

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 + 0)}$

Этап 2.3.19

Добавим $2$ и $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) \cdot 2}$

Этап 2.3.20

Перенесем $2$ влево от $2 x - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{2 (2 x + 1) + 2 \cdot (2 x - 1)}$

Этап 2.3.21

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.21.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{2 (2 x) + 2 \cdot 1 + 2 (2 x - 1)}$

Этап 2.3.21.2

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{2 (2 x) + 2 \cdot 1 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 1}$

Этап 2.3.21.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.21.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{4 x + 2 \cdot 1 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 1}$

Этап 2.3.21.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{4 x + 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 1}$

Этап 2.3.21.3.3

Умножим $2$ на $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{4 x + 2 + 4 x + 2 \cdot - 1}$

Этап 2.3.21.3.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{4 x + 2 + 4 x - 2}$

Этап 2.3.21.3.5

Добавим $4 x$ и $4 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{8 x + 2 - 2}$

Этап 2.3.21.3.6

Вычтем $2$ из $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{8 x + 0}$

Этап 2.3.21.3.7

Добавим $8 x$ и $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{8 x}$

Этап 2.4

Сократим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Сократим общий множитель $4$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x)}{8 x}$

Этап 2.4.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x)}{4 (2 x)}$

Этап 2.4.1.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{4 (2 x)}$

Этап 2.4.1.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{2 x}$

Этап 2.4.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{2 x}$

Этап 2.4.2.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2}$

Этап 3

Найдем предел $\frac{1}{2}$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$0.5$