Математический анализ Примеры

$\int (\frac{x^{6} - 5 x}{x^{2}}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int \frac{x^{6} - 5 x}{x^{2}} d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{6} - 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{6}$ .

$\int \frac{x \cdot x^{5} - 5 x}{x^{2}} d x$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 5 x$ .

$\int \frac{x \cdot x^{5} + x \cdot - 5}{x^{2}} d x$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{5} + x \cdot - 5$ .

$\int \frac{x (x^{5} - 5)}{x^{2}} d x$

Этап 2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\int \frac{x (x^{5} - 5)}{x \cdot x} d x$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель.

$\int \frac{x (x^{5} - 5)}{x \cdot x} d x$

Этап 2.2.3

Перепишем это выражение.

$\int \frac{x^{5} - 5}{x} d x$

Этап 3

Разделим $x^{5} - 5$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$0$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

Этап 3.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{5}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{4}$

$x$

$0$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

Этап 3.3

Умножим новое частное на делитель.

$x^{4}$

$x$

$0$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{5}$

$0$

Этап 3.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{5} + 0$ .

$x^{4}$

$x$

$0$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{5}$

$0$

Этап 3.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{4}$

$x$

$0$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{5}$

$0$

Этап 3.6

Вынесем следующий член из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{4}$

$x$

$0$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{5}$

$0$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

Этап 3.7

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int x^{4} - \frac{5}{x} d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x^{4} d x + \int - \frac{5}{x} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C + \int - \frac{5}{x} d x$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{5} x^{5} + C - \int \frac{5}{x} d x$

Этап 7

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{5} x^{5} + C - (5 \int \frac{1}{x} d x)$

Этап 8

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 5 \int \frac{1}{x} d x$

Этап 9

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 5 (\ln (| x |) + C)$

Этап 10

Упростим.

$\frac{1}{5} x^{5} - 5 \ln (| x |) + C$