Математический анализ Примеры

$h (x) = e^{x^{2} - 4}$ on $- 2$ , $2$

Этап 1

Найдем критические точки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x^{2} - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 4$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Этап 1.1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Этап 1.1.1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 4$ .

$e^{x^{2} - 4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$e^{x^{2} - 4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Этап 1.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$e^{x^{2} - 4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])$

Этап 1.1.1.2.3

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$e^{x^{2} - 4} (2 x + 0)$

Этап 1.1.1.2.4

Добавим $2 x$ и $0$ .

$e^{x^{2} - 4} (2 x)$

Этап 1.1.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Изменим порядок множителей в $e^{x^{2} - 4} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2} - 4} x$

Этап 1.1.1.3.2

Изменим порядок множителей в $2 e^{x^{2} - 4} x$ .

$f' (x) = 2 x e^{x^{2} - 4}$

Этап 1.1.2

Первая производная $h (x)$ по $x$ равна $2 x e^{x^{2} - 4}$ .

$2 x e^{x^{2} - 4}$

Этап 1.2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $2 x e^{x^{2} - 4} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$2 x e^{x^{2} - 4} = 0$

Этап 1.2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$e^{x^{2} - 4} = 0$

Этап 1.2.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.4

Приравняем $e^{x^{2} - 4}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Приравняем $e^{x^{2} - 4}$ к $0$ .

$e^{x^{2} - 4} = 0$

Этап 1.2.4.2

Решим $e^{x^{2} - 4} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x^{2} - 4}) = \ln (0)$

Этап 1.2.4.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 1.2.4.2.3

Нет решения для $e^{x^{2} - 4} = 0$

Нет решения

Этап 1.2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 x e^{x^{2} - 4} = 0$ верно.

$x = 0$

Этап 1.3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 1.4

Вычислим $e^{x^{2} - 4}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$e^{{(0)}^{2} - 4}$

Этап 1.4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$e^{0 - 4}$

Этап 1.4.1.2.2

Вычтем $4$ из $0$ .

$e^{- 4}$

Этап 1.4.1.2.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e^{4}}$

Этап 1.4.2

Перечислим все точки.

$(0, \frac{1}{e^{4}})$

Этап 2

Вычислим на включенных конечных точках.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение в $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Подставим $- 2$ вместо $x$ .

$e^{{(- 2)}^{2} - 4}$

Этап 2.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$e^{4 - 4}$

Этап 2.1.2.2

Вычтем $4$ из $4$ .

$e^{0}$

Этап 2.1.2.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$1$

Этап 2.2

Найдем значение в $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Подставим $2$ вместо $x$ .

$e^{{(2)}^{2} - 4}$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$e^{4 - 4}$

Этап 2.2.2.2

Вычтем $4$ из $4$ .

$e^{0}$

Этап 2.2.2.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$1$

Этап 2.3

Перечислим все точки.

$(- 2, 1), (2, 1)$

Этап 3

Сравним значения $h (x)$ , найденные для каждого значения $x$ , чтобы определить абсолютные максимум и минимум на заданном интервале. Максимум будет наблюдаться при наибольшем значении $h (x)$ , а минимум — при наименьшем значении $h (x)$ .

Абсолютный максимум: $(- 2, 1), (2, 1)$

Абсолютный минимум: $(0, \frac{1}{e^{4}})$

Этап 4