Математический анализ Примеры

$y = \sqrt[5]{\frac{5 x}{3 x - 2}}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{\frac{5 x}{3 x - 2}}$ в виде ${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{\frac{1}{5}}$ .

$y = {(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{\frac{1}{5}}$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{\frac{1}{5}})$

Этап 3

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ и $g (x) = \frac{5 x}{3 x - 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{5 x}{3 x - 2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{5}}] \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{3 x - 2}]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{3 x - 2}]$

Этап 4.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{5 x}{3 x - 2}$ .

$\frac{1}{5} {(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{3 x - 2}]$

Этап 4.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} {(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{3 x - 2}]$

Этап 4.3

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} {(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{3 x - 2}]$

Этап 4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{5} {(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{3 x - 2}]$

Этап 4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{1}{5} {(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{\frac{1 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{3 x - 2}]$

Этап 4.5.2

Вычтем $5$ из $1$ .

$\frac{1}{5} {(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{\frac{- 4}{5}} \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{3 x - 2}]$

Этап 4.6

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{5} {(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{3 x - 2}]$

Этап 4.6.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{5 x}{3 x - 2}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x - 2}]$ .

$\frac{1}{5} {(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} (5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x - 2}])$

Этап 4.6.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.3.1

Объединим $5$ и $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5}{5} {(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x - 2}]$

Этап 4.6.3.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5}{5} {(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x - 2}]$

Этап 4.6.3.2.2

Перепишем это выражение.

$1 {(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x - 2}]$

Этап 4.6.3.3

Умножим ${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}}$ на $1$ .

${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x - 2}]$

Этап 4.7

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = 3 x - 2$ .

${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{(3 x - 2) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Этап 4.8

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{(3 x - 2) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Этап 4.8.2

Умножим $3 x - 2$ на $1$ .

${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{3 x - 2 - x \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Этап 4.8.3

По правилу суммы производная $3 x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{3 x - 2 - x (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Этап 4.8.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{3 x - 2 - x (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Этап 4.8.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{3 x - 2 - x (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Этап 4.8.6

Умножим $3$ на $1$ .

${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{3 x - 2 - x (3 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Этап 4.8.7

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{3 x - 2 - x (3 + 0)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Этап 4.8.8

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.8.1

Добавим $3$ и $0$ .

${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{3 x - 2 - x \cdot 3}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Этап 4.8.8.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{3 x - 2 - 3 x}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Этап 4.8.8.3

Вычтем $3 x$ из $3 x$ .

${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{0 - 2}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Этап 4.8.8.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.8.4.1

Вычтем $2$ из $0$ .

${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} \frac{- 2}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Этап 4.8.8.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

${(\frac{5 x}{3 x - 2})}^{- \frac{4}{5}} (- \frac{2}{{(3 x - 2)}^{2}})$

Этап 4.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Изменим знак экспоненты, переписав основание в виде обратной величины.

${(\frac{3 x - 2}{5 x})}^{\frac{4}{5}} (- \frac{2}{{(3 x - 2)}^{2}})$

Этап 4.9.2

Применим правило умножения к $\frac{3 x - 2}{5 x}$ .

$\frac{{(3 x - 2)}^{\frac{4}{5}}}{{(5 x)}^{\frac{4}{5}}} (- \frac{2}{{(3 x - 2)}^{2}})$

Этап 4.9.3

Применим правило умножения к $5 x$ .

$\frac{{(3 x - 2)}^{\frac{4}{5}}}{5^{\frac{4}{5}} x^{\frac{4}{5}}} (- \frac{2}{{(3 x - 2)}^{2}})$

Этап 4.9.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.4.1

Умножим $\frac{{(3 x - 2)}^{\frac{4}{5}}}{5^{\frac{4}{5}} x^{\frac{4}{5}}}$ на $\frac{2}{{(3 x - 2)}^{2}}$ .

$- \frac{{(3 x - 2)}^{\frac{4}{5}} \cdot 2}{5^{\frac{4}{5}} x^{\frac{4}{5}} {(3 x - 2)}^{2}}$

Этап 4.9.4.2

Перенесем $2$ влево от ${(3 x - 2)}^{\frac{4}{5}}$ .

$- \frac{2 \cdot {(3 x - 2)}^{\frac{4}{5}}}{5^{\frac{4}{5}} x^{\frac{4}{5}} {(3 x - 2)}^{2}}$

Этап 4.9.4.3

Перенесем ${(3 x - 2)}^{\frac{4}{5}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{2}{5^{\frac{4}{5}} x^{\frac{4}{5}} {(3 x - 2)}^{2} {(3 x - 2)}^{- \frac{4}{5}}}$

Этап 4.9.4.4

Умножим ${(3 x - 2)}^{2}$ на ${(3 x - 2)}^{- \frac{4}{5}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.4.4.1

Перенесем ${(3 x - 2)}^{- \frac{4}{5}}$ .

$- \frac{2}{5^{\frac{4}{5}} x^{\frac{4}{5}} ({(3 x - 2)}^{- \frac{4}{5}} {(3 x - 2)}^{2})}$

Этап 4.9.4.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{2}{5^{\frac{4}{5}} x^{\frac{4}{5}} {(3 x - 2)}^{- \frac{4}{5} + 2}}$

Этап 4.9.4.4.3

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{2}{5^{\frac{4}{5}} x^{\frac{4}{5}} {(3 x - 2)}^{- \frac{4}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5}}}$

Этап 4.9.4.4.4

Объединим $2$ и $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{2}{5^{\frac{4}{5}} x^{\frac{4}{5}} {(3 x - 2)}^{- \frac{4}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5}}}$

Этап 4.9.4.4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{2}{5^{\frac{4}{5}} x^{\frac{4}{5}} {(3 x - 2)}^{\frac{- 4 + 2 \cdot 5}{5}}}$

Этап 4.9.4.4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.4.4.6.1

Умножим $2$ на $5$ .

$- \frac{2}{5^{\frac{4}{5}} x^{\frac{4}{5}} {(3 x - 2)}^{\frac{- 4 + 10}{5}}}$

Этап 4.9.4.4.6.2

Добавим $- 4$ и $10$ .

$- \frac{2}{5^{\frac{4}{5}} x^{\frac{4}{5}} {(3 x - 2)}^{\frac{6}{5}}}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - \frac{2}{5^{\frac{4}{5}} x^{\frac{4}{5}} {(3 x - 2)}^{\frac{6}{5}}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2}{5^{\frac{4}{5}} x^{\frac{4}{5}} {(3 x - 2)}^{\frac{6}{5}}}$