Математический анализ Примеры

$y = \frac{x^{4}}{\sqrt{1 - 2 x}}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 - 2 x}$ в виде ${(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{x^{4}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{4}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 3

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = {(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.2

Перемножим экспоненты в ${({(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 - 2 x)}^{1}}$

Этап 4.3

Упростим.

$\frac{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{1 - 2 x}$

Этап 4.4

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} [{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{1 - 2 x}$

Этап 4.4.2

Перенесем $4$ влево от ${(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 \cdot {(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{3} - x^{4} \frac{d}{d x} [{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{1 - 2 x}$

Этап 4.5

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 1 - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 - 2 x$ .

$\frac{4 {(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - 2 x])}{1 - 2 x}$

Этап 4.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{4 {(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{3} - x^{4} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - 2 x])}{1 - 2 x}$

Этап 4.5.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 - 2 x$ .

$\frac{4 {(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{3} - x^{4} (\frac{1}{2} {(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - 2 x])}{1 - 2 x}$

Этап 4.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 {(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{3} - x^{4} (\frac{1}{2} {(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x])}{1 - 2 x}$

Этап 4.7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 {(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{3} - x^{4} (\frac{1}{2} {(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x])}{1 - 2 x}$

Этап 4.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 {(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{3} - x^{4} (\frac{1}{2} {(1 - 2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x])}{1 - 2 x}$

Этап 4.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{4 {(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{3} - x^{4} (\frac{1}{2} {(1 - 2 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x])}{1 - 2 x}$

Этап 4.9.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{4 {(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{3} - x^{4} (\frac{1}{2} {(1 - 2 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x])}{1 - 2 x}$

Этап 4.10

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{4 {(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{3} - x^{4} (\frac{1}{2} {(1 - 2 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x])}{1 - 2 x}$

Этап 4.10.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(1 - 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 {(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{3} - x^{4} (\frac{{(1 - 2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - 2 x])}{1 - 2 x}$

Этап 4.10.3

Перенесем ${(1 - 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4 {(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{3} - x^{4} (\frac{1}{2 {(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x])}{1 - 2 x}$

Этап 4.10.4

Объединим $\frac{1}{2 {(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x^{4}$ .

$\frac{4 {(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{3} - \frac{x^{4}}{2 {(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]}{1 - 2 x}$

Этап 4.11

По правилу суммы производная $1 - 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{4 {(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{3} - \frac{x^{4}}{2 {(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x])}{1 - 2 x}$

Этап 4.12

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{4 {(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{3} - \frac{x^{4}}{2 {(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])}{1 - 2 x}$

Этап 4.13

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{4 {(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{3} - \frac{x^{4}}{2 {(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 2 x]}{1 - 2 x}$

Этап 4.14

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 {(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{3} - \frac{x^{4}}{2 {(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (- 2 \frac{d}{d x} [x])}{1 - 2 x}$

Этап 4.15

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.15.1

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{4 {(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{3} + 2 \frac{x^{4}}{2 {(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]}{1 - 2 x}$

Этап 4.15.2

Объединим $2$ и $\frac{x^{4}}{2 {(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 {(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{3} + \frac{2 x^{4}}{2 {(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]}{1 - 2 x}$

Этап 4.15.3

Сократим общий множитель.

$\frac{4 {(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{3} + \frac{2 x^{4}}{2 {(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]}{1 - 2 x}$

Этап 4.15.4

Перепишем это выражение.

$\frac{4 {(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{3} + \frac{x^{4}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]}{1 - 2 x}$

Этап 4.16

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{4 {(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{3} + \frac{x^{4}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}{1 - 2 x}$

Этап 4.17

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.17.1

Умножим $\frac{x^{4}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$\frac{4 {(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{3} + \frac{x^{4}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - 2 x}$

Этап 4.17.2

Изменим порядок $1$ и $- 2 x$ .

$\frac{4 x^{3} {(- 2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{4}}{{(- 2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - 2 x}$

Этап 4.18

Чтобы записать $4 x^{3} {(- 2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(- 2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(- 2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{4 x^{3} {(- 2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(- 2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(- 2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{4}}{{(- 2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - 2 x}$

Этап 4.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{4 x^{3} {(- 2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(- 2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} + x^{4}}{{(- 2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - 2 x}$

Этап 4.20

Умножим ${(- 2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(- 2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.20.1

Перенесем ${(- 2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{4 x^{3} ({(- 2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(- 2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}) + x^{4}}{{(- 2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - 2 x}$

Этап 4.20.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{4 x^{3} {(- 2 x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x^{4}}{{(- 2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - 2 x}$

Этап 4.20.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{4 x^{3} {(- 2 x + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} + x^{4}}{{(- 2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - 2 x}$

Этап 4.20.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{4 x^{3} {(- 2 x + 1)}^{\frac{2}{2}} + x^{4}}{{(- 2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - 2 x}$

Этап 4.20.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{\frac{4 x^{3} {(- 2 x + 1)}^{1} + x^{4}}{{(- 2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - 2 x}$

Этап 4.21

Упростим $4 x^{3} {(- 2 x + 1)}^{1}$ .

$\frac{\frac{4 x^{3} (- 2 x + 1) + x^{4}}{{(- 2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - 2 x}$

Этап 4.22

Перепишем $\frac{\frac{4 x^{3} (- 2 x + 1) + x^{4}}{{(- 2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - 2 x}$ в виде произведения.

$\frac{4 x^{3} (- 2 x + 1) + x^{4}}{{(- 2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{1 - 2 x}$

Этап 4.23

Умножим $\frac{4 x^{3} (- 2 x + 1) + x^{4}}{{(- 2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{1 - 2 x}$ .

$\frac{4 x^{3} (- 2 x + 1) + x^{4}}{{(- 2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (1 - 2 x)}$

Этап 4.24

Изменим порядок членов.

$\frac{4 x^{3} (- 2 x + 1) + x^{4}}{{(- 2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 2 x + 1)}$

Этап 4.25

Умножим ${(- 2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ на $- 2 x + 1$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.25.1

Умножим ${(- 2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ на $- 2 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.25.1.1

Возведем $- 2 x + 1$ в степень $1$ .

$\frac{4 x^{3} (- 2 x + 1) + x^{4}}{{(- 2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(- 2 x + 1)}^{1}}$

Этап 4.25.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 x^{3} (- 2 x + 1) + x^{4}}{{(- 2 x + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Этап 4.25.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{4 x^{3} (- 2 x + 1) + x^{4}}{{(- 2 x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Этап 4.25.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 x^{3} (- 2 x + 1) + x^{4}}{{(- 2 x + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Этап 4.25.4

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{4 x^{3} (- 2 x + 1) + x^{4}}{{(- 2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.26

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.26.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x^{3} (- 2 x) + 4 x^{3} \cdot 1 + x^{4}}{{(- 2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.26.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.26.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.26.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{4 \cdot - 2 x^{3} x + 4 x^{3} \cdot 1 + x^{4}}{{(- 2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.26.2.1.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.26.2.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{4 \cdot - 2 (x \cdot x^{3}) + 4 x^{3} \cdot 1 + x^{4}}{{(- 2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.26.2.1.2.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.26.2.1.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{4 \cdot - 2 (x^{1} x^{3}) + 4 x^{3} \cdot 1 + x^{4}}{{(- 2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.26.2.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 \cdot - 2 x^{1 + 3} + 4 x^{3} \cdot 1 + x^{4}}{{(- 2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.26.2.1.2.3

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{4 \cdot - 2 x^{4} + 4 x^{3} \cdot 1 + x^{4}}{{(- 2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.26.2.1.3

Умножим $4$ на $- 2$ .

$\frac{- 8 x^{4} + 4 x^{3} \cdot 1 + x^{4}}{{(- 2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.26.2.1.4

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{- 8 x^{4} + 4 x^{3} + x^{4}}{{(- 2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.26.2.2

Добавим $- 8 x^{4}$ и $x^{4}$ .

$\frac{- 7 x^{4} + 4 x^{3}}{{(- 2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.26.3

Вынесем множитель $x^{3}$ из $- 7 x^{4} + 4 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.26.3.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $- 7 x^{4}$ .

$\frac{x^{3} (- 7 x) + 4 x^{3}}{{(- 2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.26.3.2

Вынесем множитель $x^{3}$ из $4 x^{3}$ .

$\frac{x^{3} (- 7 x) + x^{3} \cdot 4}{{(- 2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.26.3.3

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{3} (- 7 x) + x^{3} \cdot 4$ .

$\frac{x^{3} (- 7 x + 4)}{{(- 2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.26.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 7 x$ .

$\frac{x^{3} (- (7 x) + 4)}{{(- 2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.26.5

Перепишем $4$ в виде $- 1 (- 4)$ .

$\frac{x^{3} (- (7 x) - 1 (- 4))}{{(- 2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.26.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (7 x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{x^{3} (- (7 x - 4))}{{(- 2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.26.7

Перепишем $- (7 x - 4)$ в виде $- 1 (7 x - 4)$ .

$\frac{x^{3} (- 1 (7 x - 4))}{{(- 2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.26.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x^{3} (7 x - 4)}{{(- 2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - \frac{x^{3} (7 x - 4)}{{(- 2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{3} (7 x - 4)}{{(- 2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$