Математический анализ Примеры

$y = t \ln^{2} (4 t)$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$y = t \ln^{2} (4 t)$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (t \ln^{2} (4 t))$

Этап 3

Производная $y$ по $t$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ имеет вид $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , где $f (t) = t$ и $g (t) = \ln^{2} (4 t)$ .

$t \frac{d}{d t} [\ln^{2} (4 t)] + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{2}$ и $g (t) = \ln (4 t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\ln (4 t)$ .

$t (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\ln (4 t)]) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$t (2 u_{1} \frac{d}{d t} [\ln (4 t)]) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 4.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\ln (4 t)$ .

$t (2 \ln (4 t) \frac{d}{d t} [\ln (4 t)]) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 4.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $4 t$ .

$t (2 \ln (4 t) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d t} [4 t])) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 4.3.2

Производная $\ln (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\frac{1}{u_{2}}$ .

$t (2 \ln (4 t) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d t} [4 t])) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 4.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $4 t$ .

$t (2 \ln (4 t) (\frac{1}{4 t} \frac{d}{d t} [4 t])) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 4.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Объединим $\frac{1}{4 t}$ и $2$ .

$t (\frac{2}{4 t} \ln (4 t) \frac{d}{d t} [4 t]) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 4.4.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Объединим $\frac{2}{4 t}$ и $\ln (4 t)$ .

$t (\frac{2 \ln (4 t)}{4 t} \frac{d}{d t} [4 t]) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 4.4.2.2

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \ln (4 t)$ .

$t (\frac{2 (\ln (4 t))}{4 t} \frac{d}{d t} [4 t]) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 4.4.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4 t$ .

$t (\frac{2 (\ln (4 t))}{2 (2 t)} \frac{d}{d t} [4 t]) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 4.4.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$t (\frac{2 \ln (4 t)}{2 (2 t)} \frac{d}{d t} [4 t]) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 4.4.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$t (\frac{\ln (4 t)}{2 t} \frac{d}{d t} [4 t]) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 4.4.2.3

Объединим $\frac{\ln (4 t)}{2 t}$ и $t$ .

$\frac{\ln (4 t) t}{2 t} \frac{d}{d t} [4 t] + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 4.4.2.4

Сократим общий множитель $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (4 t) t}{2 t} \frac{d}{d t} [4 t] + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 4.4.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\ln (4 t)}{2} \frac{d}{d t} [4 t] + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 4.4.3

Поскольку $4$ является константой относительно $t$ , производная $4 t$ по $t$ равна $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{\ln (4 t)}{2} (4 \frac{d}{d t} [t]) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 4.4.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.4.1

Объединим $4$ и $\frac{\ln (4 t)}{2}$ .

$\frac{4 \ln (4 t)}{2} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 4.4.4.2

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4 \ln (4 t)$ .

$\frac{2 (2 \ln (4 t))}{2} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 4.4.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.4.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (2 \ln (4 t))}{2 (1)} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 4.4.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (2 \ln (4 t))}{2 \cdot 1} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 4.4.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \ln (4 t)}{1} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 4.4.4.2.2.4

Разделим $2 \ln (4 t)$ на $1$ .

$2 \ln (4 t) \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 4.4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \ln (4 t) \cdot 1 + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 4.4.6

Умножим $2$ на $1$ .

$2 \ln (4 t) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 4.4.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \ln (4 t) + \ln^{2} (4 t) \cdot 1$

Этап 4.4.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.8.1

Умножим $\ln^{2} (4 t)$ на $1$ .

$2 \ln (4 t) + \ln^{2} (4 t)$

Этап 4.4.8.2

Изменим порядок членов.

$\ln^{2} (4 t) + 2 \ln (4 t)$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \ln^{2} (4 t) + 2 \ln (4 t)$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \ln^{2} (4 t) + 2 \ln (4 t)$