Математический анализ Примеры

$\sum_{i = 1}^{22} \frac{i^{3}}{3}$

Этап 1

Вынесем $\frac{1}{3}$ за символ суммирования.

$\frac{1}{3} \sum_{k = 1}^{22} i^{3}$

Этап 2

Формула суммирования многочлена степени $3$ :

$\sum_{k = 1}^{n} i^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

Этап 3

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(\frac{1}{3}) (\frac{22^{2} {(22 + 1)}^{2}}{4})$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Объединим.

$\frac{1 (22^{2} {(22 + 1)}^{2})}{3 \cdot 4}$

Этап 4.1.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $22^{2}$ на $1$ .

$\frac{22^{2} {(22 + 1)}^{2}}{3 \cdot 4}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{22^{2} {(22 + 1)}^{2}}{12}$

Этап 4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $22$ и $1$ .

$\frac{22^{2} \cdot 23^{2}}{12}$

Этап 4.2.2

Возведем $22$ в степень $2$ .

$\frac{484 \cdot 23^{2}}{12}$

Этап 4.2.3

Возведем $23$ в степень $2$ .

$\frac{484 \cdot 529}{12}$

Этап 4.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $484$ на $529$ .

$\frac{256036}{12}$

Этап 4.3.2

Сократим общий множитель $256036$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $256036$ .

$\frac{4 (64009)}{12}$

Этап 4.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{4 \cdot 64009}{4 \cdot 3}$

Этап 4.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot 64009}{4 \cdot 3}$

Этап 4.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{64009}{3}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{64009}{3}$

Десятичная форма:

$21336.\overline{3}$

Форма смешанных чисел:

$21336 \frac{1}{3}$