Математический анализ Примеры

$x = \frac{1}{3} \sqrt{y} (y - 3)$ , $1 \leq y \leq 9$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$x = \frac{1}{3} \cdot (\sqrt{y} (y - 3))$

Этап 2

Избавимся от скобок.

$x = \frac{1}{3} \cdot (\sqrt{y} (y - 3))$

Этап 3

Упростим $\frac{1}{3} \cdot (\sqrt{y} (y - 3))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{1}{3} \cdot (\sqrt{y} y + \sqrt{y} \cdot - 3)$

Этап 3.2

Перенесем $- 3$ влево от $\sqrt{y}$ .

$x = \frac{1}{3} \cdot (\sqrt{y} y - 3 \cdot \sqrt{y})$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{1}{3} (\sqrt{y} y) + \frac{1}{3} (- 3 \sqrt{y})$

Этап 3.4

Умножим $\frac{1}{3} (\sqrt{y} y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Объединим $\sqrt{y}$ и $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{\sqrt{y}}{3} y + \frac{1}{3} (- 3 \sqrt{y})$

Этап 3.4.2

Объединим $\frac{\sqrt{y}}{3}$ и $y$ .

$x = \frac{\sqrt{y} y}{3} + \frac{1}{3} (- 3 \sqrt{y})$

Этап 3.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 \sqrt{y}$ .

$x = \frac{\sqrt{y} y}{3} + \frac{1}{3} (3 (- \sqrt{y}))$

Этап 3.5.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{\sqrt{y} y}{3} + \frac{1}{3} (3 (- \sqrt{y}))$

Этап 3.5.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$

Этап 4

Проверим непрерывность $f (y) = \frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы проверить непрерывность функции на промежутке $[1, 9]$ , найдем область определения $f (y) = \frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{y}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$y \geq 0$

Этап 4.1.2

Область определения ― это все значения $y$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${y | y \geq 0}$

Интервальное представление:

$[0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${y | y \geq 0}$

Этап 4.2

$f (y)$ — непрерывное выражение в области $[1, 9]$ .

Функция является непрерывной.

Этап 5

Проверим дифференцируемость $f (y) = \frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

По правилу суммы производная $\frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{y} y}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{y} y}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Этап 5.1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{y} y}{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}} y}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Этап 5.1.1.2.2

Умножим $y^{\frac{1}{2}}$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.2.2.1

Умножим $y^{\frac{1}{2}}$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.2.2.1.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}} y^{1}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Этап 5.1.1.2.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2} + 1}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Этап 5.1.1.2.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Этап 5.1.1.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1 + 2}{2}}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Этап 5.1.1.2.2.4

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Этап 5.1.1.2.3

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{y^{\frac{3}{2}}}{3}$ по $y$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Этап 5.1.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Этап 5.1.1.2.5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Этап 5.1.1.2.6

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Этап 5.1.1.2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Этап 5.1.1.2.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.2.8.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Этап 5.1.1.2.8.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Этап 5.1.1.2.9

Объединим $\frac{3}{2}$ и $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Этап 5.1.1.2.10

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Этап 5.1.1.2.11

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Этап 5.1.1.2.12

Вынесем множитель $3$ из $3 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 (y^{\frac{1}{2}})}{6} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Этап 5.1.1.2.13

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.2.13.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Этап 5.1.1.2.13.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Этап 5.1.1.2.13.3

Перепишем это выражение.

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Этап 5.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- y^{\frac{1}{2}}]$

Этап 5.1.1.3.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- y^{\frac{1}{2}}$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Этап 5.1.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1})$

Этап 5.1.1.3.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 5.1.1.3.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 5.1.1.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 5.1.1.3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.3.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}})$

Этап 5.1.1.3.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}})$

Этап 5.1.1.3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}})$

Этап 5.1.1.3.9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 5.1.1.3.10

Перенесем $y^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (y) = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5.1.2

Первая производная $f (y)$ по $y$ равна $\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5.2

Выясним, является ли производная непрерывной на $[1, 9]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Чтобы проверить непрерывность функции на промежутке $[1, 9]$ , найдем область определения $f' (y) = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{\sqrt{y^{1}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5.2.1.1.2

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{\sqrt{y^{1}}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{y^{1}}}$

Этап 5.2.1.1.3

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$\frac{\sqrt{y}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{y^{1}}}$

Этап 5.2.1.1.4

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$\frac{\sqrt{y}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{y}}$

Этап 5.2.1.2

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{y}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$y \geq 0$

Этап 5.2.1.3

Зададим знаменатель в $\frac{1}{2 \sqrt{y}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 \sqrt{y} = 0$

Этап 5.2.1.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.4.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(2 \sqrt{y})}^{2} = 0^{2}$

Этап 5.2.1.4.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.4.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 y^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 5.2.1.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.4.2.2.1

Упростим ${(2 y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.4.2.2.1.1

Применим правило умножения к $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 5.2.1.4.2.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 5.2.1.4.2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.4.2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 5.2.1.4.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.4.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$4 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 5.2.1.4.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$4 y^{1} = 0^{2}$

Этап 5.2.1.4.2.2.1.4

Упростим.

$4 y = 0^{2}$

Этап 5.2.1.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.4.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$4 y = 0$

Этап 5.2.1.4.3

Разделим каждый член $4 y = 0$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.4.3.1

Разделим каждый член $4 y = 0$ на $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 5.2.1.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.4.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 y}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 5.2.1.4.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{0}{4}$

Этап 5.2.1.4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.4.3.3.1

Разделим $0$ на $4$ .

$y = 0$

Этап 5.2.1.5

Область определения ― это все значения $y$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${y | y > 0}$

Интервальное представление:

$(0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${y | y > 0}$

Этап 5.2.2

$f' (y)$ — непрерывное выражение в области $[1, 9]$ .

Функция является непрерывной.

Этап 5.3

Функция является дифференцируемой на $[1, 9]$ , поскольку производная является непрерывной на $[1, 9]$ .

Функция является дифференцируемой.

Этап 6

Для нахождения длины дуги необходима непрерывность функции и ее производной на отрезке $[1, 9]$ .

Функция и ее производная являются непрерывными на замкнутом интервале $[1, 9]$ .

Этап 7

Найдем производную $f (y) = \frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

По правилу суммы производная $\frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{y} y}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{y} y}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Этап 7.2

Найдем значение $\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{y} y}{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}} y}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Этап 7.2.2

Умножим $y^{\frac{1}{2}}$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Умножим $y^{\frac{1}{2}}$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}} y^{1}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Этап 7.2.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2} + 1}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Этап 7.2.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Этап 7.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1 + 2}{2}}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Этап 7.2.2.4

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Этап 7.2.3

$\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Этап 7.2.4

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Этап 7.2.5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Этап 7.2.6

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Этап 7.2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Этап 7.2.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.8.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Этап 7.2.8.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Этап 7.2.9

Объединим $\frac{3}{2}$ и $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Этап 7.2.10

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Этап 7.2.11

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Этап 7.2.12

Вынесем множитель $3$ из $3 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 (y^{\frac{1}{2}})}{6} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Этап 7.2.13

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.13.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Этап 7.2.13.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Этап 7.2.13.3

Перепишем это выражение.

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Этап 7.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- y^{\frac{1}{2}}]$

Этап 7.3.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- y^{\frac{1}{2}}$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Этап 7.3.3

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1})$

Этап 7.3.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 7.3.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 7.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 7.3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}})$

Этап 7.3.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}})$

Этап 7.3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}})$

Этап 7.3.9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 7.3.10

Перенесем $y^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Этап 8

Чтобы найти длину дуги графика функции, воспользуемся формулой $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (y))}^{2}} d y$ .

$\int_{1}^{9} \sqrt{1 + {(\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}})}^{2}} d y$

Этап 9