Математический анализ Примеры

$\int_{- 1}^{3} (- x^{3} + 3 x^{2} + 1) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{- 1}^{3} - x^{3} + 3 x^{2} + 1 d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 1}^{3} - x^{3} d x + \int_{- 1}^{3} 3 x^{2} d x + \int_{- 1}^{3} d x$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{- 1}^{3} x^{3} d x + \int_{- 1}^{3} 3 x^{2} d x + \int_{- 1}^{3} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} 3 x^{2} d x + \int_{- 1}^{3} d x$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} 3 x^{2} d x + \int_{- 1}^{3} d x$

Этап 6

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{3}) + 3 \int_{- 1}^{3} x^{2} d x + \int_{- 1}^{3} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{3}) + 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} d x$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{3}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} d x$

Этап 9

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{3}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{3}) + x]_{- 1}^{3}$

Этап 10

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем значение $\frac{x^{4}}{4}$ в $3$ и в $- 1$ .

$- ((\frac{3^{4}}{4}) - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{3}) + x]_{- 1}^{3}$

Этап 10.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $3$ и в $- 1$ .

$- (\frac{3^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + x]_{- 1}^{3}$

Этап 10.3

Найдем значение $x$ в $3$ и в $- 1$ .

$- (\frac{3^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3) + 1$

Этап 10.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Возведем $3$ в степень $4$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3) + 1$

Этап 10.4.2

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{1}{4}) + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3) + 1$

Этап 10.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{81 - 1}{4} + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3) + 1$

Этап 10.4.4

Вычтем $1$ из $81$ .

$- \frac{80}{4} + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3) + 1$

Этап 10.4.5

Сократим общий множитель $80$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.5.1

Вынесем множитель $4$ из $80$ .

$- \frac{4 \cdot 20}{4} + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3) + 1$

Этап 10.4.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.5.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$- \frac{4 \cdot 20}{4 (1)} + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3) + 1$

Этап 10.4.5.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{4 \cdot 20}{4 \cdot 1} + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3) + 1$

Этап 10.4.5.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{20}{1} + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3) + 1$

Этап 10.4.5.2.4

Разделим $20$ на $1$ .

$- 1 \cdot 20 + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3) + 1$

Этап 10.4.6

Умножим $- 1$ на $20$ .

$- 20 + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3) + 1$

Этап 10.4.7

Возведем $3$ в степень $3$ .

$- 20 + 3 (\frac{27}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3) + 1$

Этап 10.4.8

Сократим общий множитель $27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.8.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$- 20 + 3 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3) + 1$

Этап 10.4.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.8.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- 20 + 3 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3) + 1$

Этап 10.4.8.2.2

Сократим общий множитель.

$- 20 + 3 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3) + 1$

Этап 10.4.8.2.3

Перепишем это выражение.

$- 20 + 3 (\frac{9}{1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3) + 1$

Этап 10.4.8.2.4

Разделим $9$ на $1$ .

$- 20 + 3 (9 - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3) + 1$

Этап 10.4.9

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- 20 + 3 (9 - \frac{- 1}{3}) + (3) + 1$

Этап 10.4.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 20 + 3 (9 - - \frac{1}{3}) + (3) + 1$

Этап 10.4.11

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- 20 + 3 (9 + 1 (\frac{1}{3})) + (3) + 1$

Этап 10.4.12

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$- 20 + 3 (9 + \frac{1}{3}) + (3) + 1$

Этап 10.4.13

Чтобы записать $9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- 20 + 3 (9 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}) + (3) + 1$

Этап 10.4.14

Объединим $9$ и $\frac{3}{3}$ .

$- 20 + 3 (\frac{9 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}) + (3) + 1$

Этап 10.4.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 20 + 3 \frac{9 \cdot 3 + 1}{3} + (3) + 1$

Этап 10.4.16

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.16.1

Умножим $9$ на $3$ .

$- 20 + 3 \frac{27 + 1}{3} + (3) + 1$

Этап 10.4.16.2

Добавим $27$ и $1$ .

$- 20 + 3 (\frac{28}{3}) + (3) + 1$

Этап 10.4.17

Объединим $3$ и $\frac{28}{3}$ .

$- 20 + \frac{3 \cdot 28}{3} + (3) + 1$

Этап 10.4.18

Умножим $3$ на $28$ .

$- 20 + \frac{84}{3} + (3) + 1$

Этап 10.4.19

Сократим общий множитель $84$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.19.1

Вынесем множитель $3$ из $84$ .

$- 20 + \frac{3 \cdot 28}{3} + (3) + 1$

Этап 10.4.19.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.19.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- 20 + \frac{3 \cdot 28}{3 (1)} + (3) + 1$

Этап 10.4.19.2.2

Сократим общий множитель.

$- 20 + \frac{3 \cdot 28}{3 \cdot 1} + (3) + 1$

Этап 10.4.19.2.3

Перепишем это выражение.

$- 20 + \frac{28}{1} + (3) + 1$

Этап 10.4.19.2.4

Разделим $28$ на $1$ .

$- 20 + 28 + (3) + 1$

Этап 10.4.20

Добавим $- 20$ и $28$ .

$8 + (3) + 1$

Этап 10.4.21

Добавим $3$ и $1$ .

$8 + 4$

Этап 10.4.22

Добавим $8$ и $4$ .

$12$

Этап 11