Математический анализ Примеры

$y = \ln^{2} (x)$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$y = \ln^{2} (x)$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln^{2} (x))$

Этап 3

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 4.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\ln (x)$ .

$2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 4.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$2 \ln (x) \frac{1}{x}$

Этап 4.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Объединим $\frac{1}{x}$ и $2$ .

$\frac{2}{x} \ln (x)$

Этап 4.3.2

Объединим $\frac{2}{x}$ и $\ln (x)$ .

$\frac{2 \ln (x)}{x}$

Этап 4.4

Упростим $2 \ln (x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\frac{\ln (x^{2})}{x}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{\ln (x^{2})}{x}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x^{2})}{x}$