Математический анализ Примеры

$y = {\cos (6 x)}^{x}$

Этап 1

Пусть $y = f (x)$ , возьмем натуральный логарифм обеих частей $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln ({\cos (6 x)}^{x})$

Этап 2

Развернем $\ln ({\cos (6 x)}^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$\ln (y) = x \ln (\cos (6 x))$

Этап 3

Продифференцируем выражение, используя цепное правило, учитывая, что $y$ — функция от $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем левую часть $\ln (y)$ , используя цепное правило.

$\frac{y'}{y} = x \ln (\cos (6 x))$

Этап 3.2

Продифференцируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Дифференцируем $x \ln (\cos (6 x))$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [x \ln (\cos (6 x))]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \ln (\cos (6 x))$ .

$\frac{y'}{y} = x \frac{d}{d x} [\ln (\cos (6 x))] + \ln (\cos (6 x)) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \cos (6 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\cos (6 x)$ .

$\frac{y'}{y} = x (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]) + \ln (\cos (6 x)) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2.3.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{y'}{y} = x (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]) + \ln (\cos (6 x)) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\cos (6 x)$ .

$\frac{y'}{y} = x (\frac{1}{\cos (6 x)} \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]) + \ln (\cos (6 x)) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2.4

Переведем $\frac{1}{\cos (6 x)}$ в $\sec (6 x)$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (6 x) \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]) + \ln (\cos (6 x)) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2.5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $6 x$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (6 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x])) + \ln (\cos (6 x)) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2.5.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (6 x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [6 x])) + \ln (\cos (6 x)) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2.5.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $6 x$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (6 x) (- \sin (6 x) \frac{d}{d x} [6 x])) + \ln (\cos (6 x)) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2.6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (6 x) (- \sin (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x]))) + \ln (\cos (6 x)) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2.6.2

Умножим $6$ на $- 1$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (6 x) (- 6 \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x])) + \ln (\cos (6 x)) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2.6.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (6 x) (- 6 \sin (6 x) \cdot 1)) + \ln (\cos (6 x)) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2.6.4

Умножим $- 6$ на $1$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (6 x) (- 6 \sin (6 x))) + \ln (\cos (6 x)) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2.6.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (6 x) (- 6 \sin (6 x))) + \ln (\cos (6 x)) \cdot 1$

Этап 3.2.6.6

Умножим $\ln (\cos (6 x))$ на $1$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (6 x) (- 6 \sin (6 x))) + \ln (\cos (6 x))$

Этап 3.2.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Изменим порядок членов.

$\frac{y'}{y} = - 6 x \sec (6 x) \sin (6 x) + \ln (\cos (6 x))$

Этап 3.2.7.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.2.1

Выразим $\sec (6 x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{y'}{y} = - 6 x \frac{1}{\cos (6 x)} \sin (6 x) + \ln (\cos (6 x))$

Этап 3.2.7.2.2

Умножим $- 6 x \frac{1}{\cos (6 x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.2.2.1

Объединим $- 6$ и $\frac{1}{\cos (6 x)}$ .

$\frac{y'}{y} = x \frac{- 6}{\cos (6 x)} \sin (6 x) + \ln (\cos (6 x))$

Этап 3.2.7.2.2.2

Объединим $x$ и $\frac{- 6}{\cos (6 x)}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x \cdot - 6}{\cos (6 x)} \sin (6 x) + \ln (\cos (6 x))$

Этап 3.2.7.2.3

Перенесем $- 6$ влево от $x$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{- 6 \cdot x}{\cos (6 x)} \sin (6 x) + \ln (\cos (6 x))$

Этап 3.2.7.2.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{y'}{y} = - \frac{6 \cdot x}{\cos (6 x)} \sin (6 x) + \ln (\cos (6 x))$

Этап 3.2.7.2.5

Объединим $\sin (6 x)$ и $\frac{6 x}{\cos (6 x)}$ .

$\frac{y'}{y} = - \frac{\sin (6 x) (6 x)}{\cos (6 x)} + \ln (\cos (6 x))$

Этап 3.2.7.2.6

Перенесем $6$ влево от $\sin (6 x)$ .

$\frac{y'}{y} = - \frac{6 \sin (6 x) x}{\cos (6 x)} + \ln (\cos (6 x))$

Этап 3.2.7.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.3.1

Разделим дроби.

$\frac{y'}{y} = - (\frac{6 x}{1} \cdot \frac{\sin (6 x)}{\cos (6 x)}) + \ln (\cos (6 x))$

Этап 3.2.7.3.2

Переведем $\frac{\sin (6 x)}{\cos (6 x)}$ в $\tan (6 x)$ .

$\frac{y'}{y} = - (\frac{6 x}{1} \tan (6 x)) + \ln (\cos (6 x))$

Этап 3.2.7.3.3

Разделим $6 x$ на $1$ .

$\frac{y'}{y} = - (6 x \tan (6 x)) + \ln (\cos (6 x))$

Этап 3.2.7.3.4

Умножим $6$ на $- 1$ .

$\frac{y'}{y} = - 6 x \tan (6 x) + \ln (\cos (6 x))$

Этап 4

Изолируем $y'$ и заменим исходную функцию на $y$ в правой части.

$y' = (- 6 x \tan (6 x) + \ln (\cos (6 x))) {\cos (6 x)}^{x}$

Этап 5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Выразим $\tan (6 x)$ через синусы и косинусы.

$y' = (- 6 x \frac{\sin (6 x)}{\cos (6 x)} + \ln (\cos (6 x))) {\cos (6 x)}^{x}$

Этап 5.1.2

Умножим $- 6 x \frac{\sin (6 x)}{\cos (6 x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Объединим $- 6$ и $\frac{\sin (6 x)}{\cos (6 x)}$ .

$y' = (x \frac{- 6 \sin (6 x)}{\cos (6 x)} + \ln (\cos (6 x))) {\cos (6 x)}^{x}$

Этап 5.1.2.2

Объединим $x$ и $\frac{- 6 \sin (6 x)}{\cos (6 x)}$ .

$y' = (\frac{x (- 6 \sin (6 x))}{\cos (6 x)} + \ln (\cos (6 x))) {\cos (6 x)}^{x}$

Этап 5.1.3

Перенесем $- 6$ влево от $x$ .

$y' = (\frac{- 6 \cdot x \sin (6 x)}{\cos (6 x)} + \ln (\cos (6 x))) {\cos (6 x)}^{x}$

Этап 5.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = (- \frac{6 x \sin (6 x)}{\cos (6 x)} + \ln (\cos (6 x))) {\cos (6 x)}^{x}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y' = - \frac{6 x \sin (6 x)}{\cos (6 x)} {\cos (6 x)}^{x} + \ln (\cos (6 x)) {\cos (6 x)}^{x}$

Этап 5.3

Объединим ${\cos (6 x)}^{x}$ и $\frac{6 x \sin (6 x)}{\cos (6 x)}$ .

$y' = - \frac{{\cos (6 x)}^{x} (6 x \sin (6 x))}{\cos (6 x)} + \ln (\cos (6 x)) {\cos (6 x)}^{x}$

Этап 5.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Сократим общий множитель ${\cos (6 x)}^{x}$ и $\cos (6 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Вынесем множитель $\cos (6 x)$ из ${\cos (6 x)}^{x} (6 x \sin (6 x))$ .

$y' = - \frac{\cos (6 x) ({\cos (6 x)}^{x - 1} (6 x \sin (6 x)))}{\cos (6 x)} + \ln (\cos (6 x)) {\cos (6 x)}^{x}$

Этап 5.4.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.2.1

Умножим на $1$ .

$y' = - \frac{\cos (6 x) ({\cos (6 x)}^{x - 1} (6 x \sin (6 x)))}{\cos (6 x) \cdot 1} + \ln (\cos (6 x)) {\cos (6 x)}^{x}$

Этап 5.4.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = - \frac{\cos (6 x) ({\cos (6 x)}^{x - 1} (6 x \sin (6 x)))}{\cos (6 x) \cdot 1} + \ln (\cos (6 x)) {\cos (6 x)}^{x}$

Этап 5.4.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = - \frac{{\cos (6 x)}^{x - 1} (6 x \sin (6 x))}{1} + \ln (\cos (6 x)) {\cos (6 x)}^{x}$

Этап 5.4.1.2.4

Разделим ${\cos (6 x)}^{x - 1} (6 x \sin (6 x))$ на $1$ .

$y' = - ({\cos (6 x)}^{x - 1} (6 x \sin (6 x))) + \ln (\cos (6 x)) {\cos (6 x)}^{x}$

Этап 5.4.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y' = - (6 {\cos (6 x)}^{x - 1} x \sin (6 x)) + \ln (\cos (6 x)) {\cos (6 x)}^{x}$

Этап 5.4.3

Умножим $6$ на $- 1$ .

$y' = - 6 {\cos (6 x)}^{x - 1} x \sin (6 x) + \ln (\cos (6 x)) {\cos (6 x)}^{x}$

Этап 5.5

Изменим порядок множителей в $- 6 {\cos (6 x)}^{x - 1} x \sin (6 x) + \ln (\cos (6 x)) {\cos (6 x)}^{x}$ .

$y' = - 6 x {\cos (6 x)}^{x - 1} \sin (6 x) + {\cos (6 x)}^{x} \ln (\cos (6 x))$