Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \arctan (\frac{1 - x}{\sqrt{3 + x}})$

Этап 1

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{3 + 0}}$

Этап 1.2

Добавим $3$ и $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{3}}$

Этап 1.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 1.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 1.4.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 1.4.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 1.4.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 1.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 1.4.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 2

Подставим $t$ вместо $\frac{1 - x}{\sqrt{3 + x}}$ и устремим $t$ к $\frac{\sqrt{3}}{3}$ , так как $lim_{x \to 0} \frac{1 - x}{\sqrt{3 + x}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$lim_{t \to \frac{\sqrt{3}}{3}} \arctan (t)$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{\sqrt{3}}{3}$ для всех вхождений $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\arctan (\frac{1}{\sqrt{3 + 0}})$

Этап 3.1.2

Добавим $3$ и $0$ .

$\arctan (\frac{1}{\sqrt{3}})$

Этап 3.1.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\arctan (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Этап 3.1.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})$

Этап 3.1.4.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}})$

Этап 3.1.4.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}})$

Этап 3.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\arctan (\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}})$

Этап 3.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}})$

Этап 3.1.4.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Этап 3.1.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Этап 3.1.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})$

Этап 3.1.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})$

Этап 3.1.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3^{1}})$

Этап 3.1.4.6.5

Найдем экспоненту.

$\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Этап 3.2

Точное значение $\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ : $\frac{π}{6}$ .

$\frac{π}{6}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{π}{6}$

Десятичная форма:

$0.52359877 \dots$