Математический анализ Примеры

$(5 x^{2} + 3) (2 x - 1)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 5 x^{2} + 3$ и $g (x) = 2 x - 1$ .

$(5 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [2 x - 1] + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $2 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(5 x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Этап 1.2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(5 x^{2} + 3) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(5 x^{2} + 3) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Этап 1.2.4

Умножим $2$ на $1$ .

$(5 x^{2} + 3) (2 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Этап 1.2.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$(5 x^{2} + 3) (2 + 0) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Этап 1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Добавим $2$ и $0$ .

$(5 x^{2} + 3) \cdot 2 + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Этап 1.2.6.2

Перенесем $2$ влево от $5 x^{2} + 3$ .

$2 \cdot (5 x^{2} + 3) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Этап 1.2.7

По правилу суммы производная $5 x^{2} + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$2 (5 x^{2} + 3) + (2 x - 1) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 1.2.8

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{2}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (5 x^{2} + 3) + (2 x - 1) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 1.2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (5 x^{2} + 3) + (2 x - 1) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 1.2.10

Умножим $2$ на $5$ .

$2 (5 x^{2} + 3) + (2 x - 1) (10 x + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 1.2.11

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 (5 x^{2} + 3) + (2 x - 1) (10 x + 0)$

Этап 1.2.12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.12.1

Добавим $10 x$ и $0$ .

$2 (5 x^{2} + 3) + (2 x - 1) (10 x)$

Этап 1.2.12.2

Перенесем $10$ влево от $2 x - 1$ .

$2 (5 x^{2} + 3) + 10 \cdot (2 x - 1) x$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (5 x^{2}) + 2 \cdot 3 + 10 (2 x - 1) x$

Этап 1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (5 x^{2}) + 2 \cdot 3 + (10 (2 x) + 10 \cdot - 1) x$

Этап 1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (5 x^{2}) + 2 \cdot 3 + 10 (2 x) x + 10 \cdot - 1 x$

Этап 1.3.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Умножим $5$ на $2$ .

$10 x^{2} + 2 \cdot 3 + 10 (2 x) x + 10 \cdot - 1 x$

Этап 1.3.4.2

Умножим $2$ на $3$ .

$10 x^{2} + 6 + 10 (2 x) x + 10 \cdot - 1 x$

Этап 1.3.4.3

Умножим $2$ на $10$ .

$10 x^{2} + 6 + 20 x \cdot x + 10 \cdot - 1 x$

Этап 1.3.4.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$10 x^{2} + 6 + 20 (x^{1} x) + 10 \cdot - 1 x$

Этап 1.3.4.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$10 x^{2} + 6 + 20 (x^{1} x^{1}) + 10 \cdot - 1 x$

Этап 1.3.4.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$10 x^{2} + 6 + 20 x^{1 + 1} + 10 \cdot - 1 x$

Этап 1.3.4.7

Добавим $1$ и $1$ .

$10 x^{2} + 6 + 20 x^{2} + 10 \cdot - 1 x$

Этап 1.3.4.8

Умножим $10$ на $- 1$ .

$10 x^{2} + 6 + 20 x^{2} - 10 x$

Этап 1.3.4.9

Добавим $10 x^{2}$ и $20 x^{2}$ .

$30 x^{2} + 6 - 10 x$

Этап 1.3.5

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 30 x^{2} - 10 x + 6$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $30 x^{2} - 10 x + 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [30 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [30 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [30 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $30$ является константой относительно $x$ , производная $30 x^{2}$ по $x$ равна $30 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$30 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$30 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $30$ .

$60 x + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 10$ является константой относительно $x$ , производная $- 10 x$ по $x$ равна $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$60 x - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$60 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 2.3.3

Умножим $- 10$ на $1$ .

$60 x - 10 + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$60 x - 10 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $60 x - 10$ и $0$ .

$f'' (x) = 60 x - 10$